C语言实现二叉树以及二叉树的详细介绍

树不同于之前的线性表，树是一种非线性的数据结构，由n(n>=0)个有限节点组成一个具有层次关系的集合。有一个特殊的节点称为根节点，根节点没有前驱节点。除了根节点外，其余节点被分成M（M>0）个互不相交的集合，其中每个集合又是一颗结构与树类似的子树。没一棵子树的根节点有且只有一个前驱结点，但是可以有0个或多个后继节点，因此树是递归定义的。

注：子树之间不能有交集。

1.2树的相关概念

(1) 结点的度：一个结点含有的子树的个数称为该结点的度；如上图：A的为6.

(2)叶结点或终端结点：度为0的结点称为叶结点；如上图：B、C、H、I、P...等结点为叶结点。

(3)非终端结点或分支结点：度不为 0 的结点；如上图： D 、 E 、 F 、 G...等结点为分支结点。

(4)双亲结点或父结点：若一个结点含有子结点，则这个结点称为其子结点的父结点；如上图：A是B的父结点。

(5)孩子结点或子结点：一个结点含有的子树的根结点称为该结点的子结点；如上图：B是A的孩子结点

(6)兄弟结点：具有相同父结点的结点互称为兄弟结点；如上图： B 、 C 是兄弟结点

(7)树的度：一棵树中，最大的结点的度称为树的度；如上图：树的度为6

(8)结点的层次：从根开始定义起，根为第1层，根的子结点为第2层，以此类推；

(9)树的高度或深度：树中结点的最大层次；如上图：树的高度为4

(10)堂兄弟结点：双亲在同一层的结点互为堂兄弟；如上图： H 、 I 互为兄弟结点

(11)结点的祖先：从根到该结点所经分支上的所有结点；如上图： A 是所有结点的祖先

(12)子孙：以某结点为根的子树中任一结点都称为该结点的子孙。如上图：所有结点都是 A 的子孙

(13)森林：由 m （ m>0 ）棵互不相交的树的集合称为森林；

上列概念需要熟记:(1)(2)(4)(5)(7)(8)(9).

1.3树的表示

树的节点结构，既要存储值，也要保存节点和节点之间的关系，实际中树有很多种表示方式如：双亲表示法，孩子表示法、孩子双亲表示法以及孩子兄弟表示法等。我们这里就简单的了解其中最常用的孩子兄弟表示法。

typedef int DataType;
struct Node
{
    struct Node* firstChild1; // 第一个孩子结点
    struct Node* pNextBrother; // 指向其下一个兄弟结点
    DataType data; // 结点中的数据域
};

2.二叉树概念及结构

2.1二叉树的概念

一棵二叉树是节点的一个有限集合，该集合：（1）可能为空（2）由一个根节点加上两棵别称为左子树和右子树的二叉树组成。

二叉树的特点：（1）二叉树不存在度大于2的节点（2）二叉树的子树有左右之分，次序不能颠倒，因此二叉树是有序树。

注：对于任意的二叉树都是由以下几种情况复合而成的：

2.2特殊的二叉树

(1). 满二叉树 ：一个二叉树，如果每一个层的结点数都达到最大值，则这个二叉树就是满二叉树。也就是说，如果一个二叉树的层数为K ，且结点总数是 $2^{k}-1$ ，则它就是满二叉树。

(2). 完全二叉树 ：完全二叉树是效率很高的数据结构，完全二叉树是由满二叉树而引出来的。对于深度为 K的，有n 个结点的二叉树，当且仅当其每一个结点都与深度为 K 的满二叉树中编号从 1 至n的结点一一对应时称之为完全二叉树。 要注意的是满二叉树是一种特殊的完全二叉树。

2.3二叉树的性质

(1). 若规定根结点的层数为 1 ，则一棵非空二叉树的第 i 层上最多有 $2^{(i-1)}$ 个节点。

(2). 若规定根结点的层数为 1 ，则 深度为 h 的二叉树的最大结点数是 $2^{h}-1$ 个节点。

(3). 对任何一棵二叉树 , 如果度为 0的 叶结点个数为 $n_{0}$ , 度为 2 的分支结点个数为 $n_{2}$ ,则有 $n_{0}$ ＝ $n_{2}$ ＋1.

/*
* 假设二叉树有N个结点
* 从总结点数角度考虑：N = n0 + n1 + n2 ①
* 
* 从边的角度考虑，N个结点的任意二叉树，总共有N-1条边
* 因为二叉树中每个结点都有双亲，根结点没有双亲，每个节点向上与其双亲之间存在一条边
* 因此N个结点的二叉树总共有N-1条边
* 
* 因为度为0的结点没有孩子，故度为0的结点不产生边; 度为1的结点只有一个孩子，故每个度为1的结
点* * 产生一条边; 度为2的结点有2个孩子，故每个度为2的结点产生两条边，所以总边数为：
n1+2*n2 
* 故从边的角度考虑：N-1 = n1 + 2*n2 ②
* 结合① 和 ②得：n0 + n1 + n2 = n1 + 2*n2 - 1
* 即：n0 = n2 + 1
*/

(4)若规定根节点的层数为1，具有n个节点的满二叉树的深度为 $h=log_{2}(n+1)$ 。