RSA加密解密步骤验证-基于全网最简单易懂案例科普解析！

前言

​ 某天在B站上看到了一个关于RSA加密算法的视频，感觉讲得很有意思，于是决定以此为契机学习RSA，然后手动验证一下视频中的消息加密解密过程。

• 【软件科普】如何保证发出去的微信和QQ消息不被篡改?详解RSA加密算法

参考

之后搜索查阅了一些RSA算法加密解密的资料，然后手动验证了上面视频中消息加解密的过程。下面是收集的几篇比较清晰易懂的、也是本文主要参考的文章：

• RSA 非对称加密原理（小白也能看懂哦~）
• RSA算法原理（简单易懂）
• 非对称加密算法–RSA加密原理及运用
• RSA算法原理系列文章：
  • 欧拉函数：https://www.kancloud.cn/kancloud/rsa_algorithm/48486
  • 欧拉定理：https://www.kancloud.cn/kancloud/rsa_algorithm/48487

RSA简介

一、主要步骤

步骤	说明	描述	备注
1	找出质数	P 、Q	随机找两个质数P和Q，P与Q越大，越安全
2	计算公共模数	N = P * Q	-
3	欧拉函数	φ(N) = φ§φ(Q)= (P-1)(Q-1)	即积的欧拉函数等于各个因子的欧拉函数之积
4	计算公钥E	1 < E < φ(N)	随机选择一个整数E，条件是1<E<φ(n)，且E与φ(n) 互质
5	计算私钥D	E * D % φ(N) = 1	选择一个整数D，可以使得E乘D 除以φ(n) 的余数为 1
6	加密	C ＝M ^ E mod N	C：密文 M：明文
7	解密	M ＝C ^ D mod N	C：密文 M：明文

• 实际使用时，由E和N组成公钥，由D和N组成私钥，即

  公钥＝(E , N)

  私钥＝(D, N)

二、简单示例

1、找出质数 P 、Q

P = 3  
Q = 11

2、计算公共模数

N = P * Q = 3 * 11 = 33

3、 欧拉函数

φ(N) = (P-1)(Q-1) = 2 * 10 = 20

4、计算公钥E

1 < E < φ(N)
1 < E < 20

E 的取值范围 {3, 7, 9, 11, 13, 17, 19}，E的取值必须是整数, E 和 φ(N) 必须是互质数
3 和 φ(N) =20 互为质数，满足条件
为了测试，我们取最小的值 E =3

5、计算私钥D

E * D % φ(N) = 1
3 * D  % 20 = 1   

根据上面可计算出 D = 7

6、公钥加密

​ 我们这里为了演示，就加密一个比较小的数字 M = 2

公式：C ＝ M^E mod N

M = 2
E = 3
N = 33

C = 2^3 % 33 = 8

​ 明文 “2” 经过 RSA 加密后变成了密文 “8”

7、私钥解密

M ＝C^D mod N

C = 8
D = 7
N = 33

M = 8^7 % 33
8 * 8 * 8 * 8 * 8 * 8 * 8=2097152
8 * 8 * 8 * 8 * 8 * 8 * 8 % 33 = 2

​ 密文 “8” 经过 RSA 解密后变成了明文 2

RSA加解密手动验证

​ 回到最初目的，下面开始跟随视频中的步骤验证过程：

1、找出质数 P 、Q

P = 17
Q = 19

2、计算公共模数

N = P * Q = 17 * 19 = 323

3、 欧拉函数

φ(N) = (P-1)(Q-1) = 16 * 18 = 288

4、计算公钥E

1 < E < φ(N)
1 < E < 288

E必须是与φ(N) 互质的整数，且取值范围为 1 < E < φ(N)
这里选择了 E =61

因此封装的公钥＝(E , N)=(61，323)

5、计算私钥D

E * D % φ(N) = 1
61 * D  % 288 = 1

选择一个整数D，可以使得E乘D 除以φ(n) 的余数为 1
这里选择了 D = 85

因此封装的私钥＝(D, N)=(85，323)

6、公钥加密

• 将待加密数据How are you转换成Unicode编码（16进制格式）：

H	o	w		a	r	e		y	o	u
48	6F	77	20	61	72	65	20	79	6F	75

• 公钥＝(E , N)=(61，323)，对上述字符逐个进行加密

加密公式：C ＝ M^E mod N （C：密文 M：明文）

​ 这里以字符a为例，

先将十六进制的0x61转成十进制97，故M = 97
E = 61
N = 323
C = 97^61 % 323 = 14

​ 得出字符a加密后的密文是14，对应的十六进制是0xE

• …依此类推，得出所有明文经过后的密文如下表：

48	6F	77	20	61	72	65	20	79	6F	75
59	4D	BB	101	E	85	ED	101	53	5D	2

7、私钥解密

• 解密过程类似，私钥＝(D, N)=(85，323)，对上一步的密文表逐个进行解密

解密公式：M ＝C^D mod N （C：密文 M：明文）

​ 同样以字符a为例：

先将密文0xE转成十进制14，故M = 14
D = 85
N = 323
C = 14^85 % 323 = 97

​ 得到解密出来的明文97，即字符a

• …依此类推，能够得到密文表对应的所有明文How are you

  解密成功！