算法学习笔记：8.Bellman-Ford 算法——从原理到实战，涵盖 LeetCode 与考研 408 例题-优快云博客

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在图论算法的大家庭中，Bellman-Ford 算法以其独特的魅力占据着重要地位。当我们面对带权有向图的单源最短路径问题，尤其是图中存在负权边时，Bellman-Ford 算法便成为了有力的解题工具。无论是算法竞赛、实际工程应用，还是计算机考研 408 的备考，掌握 Bellman-Ford 算法都能为我们增添强大助力。

Bellman-Ford 算法的基本概念

Bellman-Ford 算法由美国数学家 Richard Bellman 和 Lester Ford Jr. 提出，用于解决带权有向图中，从一个源点到其余各顶点的最短路径问题。与 Dijkstra 算法不同，Bellman-Ford 算法能够处理包含负权边的图，这使得它在一些特殊场景下具有不可替代的作用。

假设有一个带权有向图\(G=(V, E)\)，其中\(V\)是顶点集合，\(E\)是边的集合，每条边\((u, v) \in E\)都有一个权值\(w(u, v)\)。算法的目标是找到从给定源点\(s\)到图中其他所有顶点的最短路径。

例如，对于以下带负权边的有向图：

我们希望找到从源点 A 出发到其他各点的最短路径，此时 Bellman-Ford 算法就能发挥作用。

Bellman-Ford 算法的思想

Bellman-Ford 算法基于松弛操作（Relaxation）和迭代思想。松弛操作是算法的核心步骤，其目的是不断尝试优化路径长度。对于一条边\((u, v)\)，如果通过顶点\(u\)到达顶点\(v\)的路径长度比当前记录的\(v\)到源点的最短路径长度更短，就更新\(v\)的最短路径长度。

算法的具体执行过程如下：

初始化：

- 将源点到自身的距离设为\(0\)，即\(dist[s]=0\)，其他所有顶点到源点的距离设为无穷大，即\(dist[v] = \infty\)（\(v \neq s\)）。

迭代松弛：

- 进行\(|V| - 1\)次迭代（\(|V|\)为图中顶点的数量）。在每次迭代中，对图中的每条边\((u, v)\)进行松弛操作。通过不断迭代，逐步逼近从源点到各个顶点的最短路径。之所以进行\(|V| - 1\)次迭代，是因为在无负权回路的图中，最短路径最多包含\(|V| - 1\)条边。

检测负权回路：

- 进行第\(|V|\)次迭代，再次对所有边进行松弛操作。如果在这次迭代中，仍然有边可以被松弛，说明图中存在负权回路，即从源点出发可以通过某些路径不断减小路径长度，不存在最短路径；如果没有边可以被松弛，则说明已经找到了从源点到各个顶点的最短路径。

下面通过一个具体的例子，展示 Bellman-Ford 算法的执行过程：

在初始化阶段，除源点到自身距离为\(0\)外，其他顶点到源点距离为无穷大。第一轮迭代，通过边\((S, A)\)和\((S, B)\)进行松弛操作，更新了 A 和 B 到源点的距离。后续迭代继续对各边进行松弛，逐步得到更优的路径长度。

Bellman-Ford 算法的解题思路

利用 Bellman-Ford 算法解决实际问题时，一般遵循以下步骤：

构建图模型：根据题目条件，将问题抽象为带权有向图，确定顶点集合、边集合以及每条边的权值。

选择源点：明确题目中给定的源点，作为计算最短路径的起始点。

执行算法：按照上述 Bellman-Ford 算法的步骤，进行初始化、迭代松弛和负权回路检测操作。

处理结果：根据算法执行后的结果，判断是否存在最短路径。如果存在，提取从源点到目标顶点的最短路径长度；如果检测到负权回路，则根据题目要求进行相应处理，如返回错误提示等。

LeetCode 例题及 Java 代码实现

例题：负权图中的单源最短路径（LeetCode 787）

有 n 个城市通过 m 个航班连接。每个航班都从城市 u 开始，以价格 w 抵达 v。现在给定所有的城市和航班，以及出发城市 src 和目的地 dst，你的任务是找到从 src 到 dst 最多经过 k 站中转的最便宜的价格。如果没有这样的路线，则输出 -1。

解题思路

本题可以将城市看作图的顶点，航班看作边，航班价格看作边的权值。由于存在最多经过 k 站中转的限制，我们可以对 Bellman-Ford 算法进行变形。在常规的 Bellman-Ford 算法中，进行\(|V| - 1\)次迭代，而本题中只需要进行\(k + 1\)次迭代（因为源点本身算一站），同时记录从源点到各个顶点的最短路径价格，最终返回源点到目的地的最短路径价格，如果无法到达则返回 -1。

Java 代码实现

import java.util.Arrays;

public class CheapestFlightsWithinKStops {

    public int findCheapestPrice(int n, int[][] flights, int src, int dst, int k) {

        int[] dist = new int[n];

        Arrays.fill(dist, Integer.MAX_VALUE);

        dist[src] = 0;

        for (int i = 0; i <= k; i++) {

            int[] tempDist = dist.clone();

            for (int[] flight : flights) {

                int u = flight[0];

                int v = flight[1];

                int w = flight[2];

                if (dist[u] != Integer.MAX_VALUE && dist[u] + w < tempDist[v]) {

                    tempDist[v] = dist[u] + w;

                }

            }

            dist = tempDist;

        }

        return dist[dst] == Integer.MAX_VALUE ? -1 : dist[dst];

    }

}

例题：行程规划（LeetCode 1345）

给你一个整数数组 nums 和两个整数 start 和 goal 。数组 nums 是特殊的，因为每当你到达数组中的某个位置 i 时，你可以执行以下两种操作之一：

如果 i + nums[i] < nums.length，可以移动到位置 i + nums[i] 。

如果 i - nums[i] >= 0，可以移动到位置 i - nums[i] 。

返回到达 goal 所需的最少移动次数，如果无法到达 goal ，则返回 -1 。

解题思路

我们可以将数组的每个索引看作图的顶点，索引之间的移动关系看作边，边权值为\(1\)。本题要求从start位置到达goal位置的最少移动次数，类似于求单源最短路径问题。使用 Bellman-Ford 算法，通过迭代松弛操作，不断更新从start到各个位置的最少移动次数，最终得到到达goal的最少移动次数，如果无法到达则返回 -1。

Java 代码实现

import java.util.Arrays;

public class JumpGameIV {

    public int minJumps(int[] nums) {

        int n = nums.length;

        int[] dist = new int[n];

        Arrays.fill(dist, Integer.MAX_VALUE);

        dist[0] = 0;

        for (int i = 0; i < n - 1; i++) {

            if (i + 1 < n && dist[i] + 1 < dist[i + 1]) {

                dist[i + 1] = dist[i] + 1;

            }

            if (i - 1 >= 0 && dist[i] + 1 < dist[i - 1]) {

                dist[i - 1] = dist[i] + 1;

            }

        }

        return dist[n - 1] == Integer.MAX_VALUE ? -1 : dist[n - 1];

    }

}

Bellman-Ford 算法与考研 408

在计算机考研 408 中，Bellman-Ford 算法是数据结构和算法部分的重要考点，主要涉及以下几个方面：

算法原理与实现：考生需要掌握 Bellman-Ford 算法的基本原理、执行步骤和代码实现。常考查算法的初始化过程、松弛操作的具体实现，以及如何通过迭代和负权回路检测来求解最短路径问题。例如，要求考生分析算法在给定图上的执行过程，或者写出算法的伪代码或具体实现代码。

时间复杂度与空间复杂度：Bellman-Ford 算法的时间复杂度为\(O(|V| \times |E|)\)（\(|V|\)为顶点数，\(|E|\)为边数），空间复杂度为\(O(|V|)\)。考研 408 中可能会考查对算法时间复杂度和空间复杂度的分析，要求考生理解为什么算法具有这样的复杂度，以及在不同规模的图上算法的效率表现。

与其他最短路径算法的对比：Dijkstra 算法、Floyd 算法等也是求解最短路径问题的常用算法，考研 408 中可能会考查这些算法与 Bellman-Ford 算法的对比。例如，分析它们的适用场景（如 Dijkstra 算法不能处理负权边，而 Bellman-Ford 算法可以；Floyd 算法用于求解任意两点间的最短路径）、时间复杂度和空间复杂度的差异等。