2822: [AHOI2012]树屋阶梯

2822: [AHOI2012]树屋阶梯

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Description

暑假期间，小龙报名了一个模拟野外生存作战训练班来锻炼体魄，训练的第 一个晚上，教官就给他们出了个难题。由于地上露营湿气重，必须选择在高处的 树屋露营。小龙分配的树屋建立在一颗高度为 N+1 尺（ N 为正整数）的大树上， 正当他发愁怎么爬上去的时候，发现旁边堆满了一些空心四方钢材（如图 1.1 ）， 经过观察和测量，这些钢材截面的宽和高大小不一，但都是 1 尺的整数倍，教官 命令队员们每人选取 N 个空心钢材来搭建一个总高度为 N 尺的阶梯来进入树屋， 该阶梯每一步台阶的高度为 1 尺，宽度也为 1 尺。如果这些钢材有各种尺寸，且 每种尺寸数量充足，那么小龙可以有多少种搭建方法？（注：为了避免夜里踏空， 钢材空心的一面绝对不可以向上。）

   以树屋高度为4尺、阶梯高度N=3尺为例，小龙一共有如图1.2所示的5种

   搭 建方法：

   

Input

一个正整数 N(1≤N≤500)，表示阶梯的高度

Output

一个正整数，表示搭建方法的个数。（注：搭建方法个数可能很大。）

Sample Input

3

Sample Output

5

HINT

1  ≤N≤500

Source

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令f[i]:构造出n级台阶的方案数。显然，有f[0] = 1,f[1] = 1,f[2] = 2,f[3] = 5

这恰好是卡特兰数的前几项，那么后面也满足这个规律么？？？可以尝试证明一下。

首先，用n块钢材构建n级台阶，因为钢材都是长方体，所以每级台阶一定对应一块钢材

假设已经求好了i∈[1,n)的所有f[i]，现在我们要求f[n]，怎么利用已知信息？

假设要求f[n]，可以枚举图示中红色的矩形钢材，让它强行塞一节台阶

这样下半部分是f[k]，上半部分就是f[n-1-k]了，就有卡特兰数递推式，f[n] = ∑f[i]*f[n-i-1]

剩下就是高精度的事。。。压位一下，，别写炸了。。。。。

#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<algorithm>
#include<cmath>
#include<cstring>
#include<vector>
#include<queue>
#include<set>
#include<map>
#include<stack>
#include<bitset>
#include<ext/pb_ds/priority_queue.hpp>
using namespace std;

typedef long long LL;
const int maxn = 505;
const int N = 55;
const LL mo = 1000000000;

struct data{
	int len; LL a[N]; data(){memset(a,0,sizeof(a)); len = 0;}
	data operator + (const data &b)
	{
		data c; int le = max(len,b.len);
		for (int i = 0; i < le; i++)
		{
			c.a[i] += a[i] + b.a[i];
			c.a[i+1] += c.a[i] / mo;
			c.a[i] %= mo;
		}
		c.len = c.a[le]?le+1:le;
		return c;
	}
	data operator * (const data &b)
	{
		data c; int le = len + b.len;
		for (int i = 0; i < len; i++)
			for (int j = 0; j < b.len; j++)
			{
				c.a[i+j] += a[i]*b.a[j];
				c.a[i+j+1] += c.a[i+j] / mo;
				c.a[i+j] %= mo;
			}
		c.len = c.a[le-1]?le:le-1;
		return c;
	}
}f[maxn];

int n;

void Print(int x,int res)
{
	if (res == 1) {printf("%d",x); return;}
	Print(x / 10,res - 1); printf("%d",x % 10);
}

int main()
{
	#ifdef DMC
		freopen("DMC.txt","r",stdin);
	#endif
	
	cin >> n; f[0].a[0] = f[1].a[0] = f[0].len = f[1].len = 1;
	for (int i = 2; i <= n; i++)
		for (int j = 0; j < i; j++)
			f[i] = f[i] + (f[j]*f[i-1-j]);
	cout << f[n].a[f[n].len-1];
	for (int i = f[n].len - 2; i >= 0; i--) Print(f[n].a[i],9);
	return 0;
}