蓝桥杯递推求值(矩阵快速幂)

最新推荐文章于 2024-03-30 21:58:04 发布

原创最新推荐文章于 2024-03-30 21:58:04 发布 · 635 阅读

1 ·

CC 4.0 BY-SA版权

文章标签：

#矩阵快速幂

蓝桥杯同时被 2 个专栏收录

13 篇文章

订阅专栏

快速幂&矩阵快速幂

5 篇文章

订阅专栏

本文介绍如何使用矩阵快速幂解决复杂的递推问题。针对特定递推公式，通过构造矩阵来简化计算过程，适用于处理大规模数据的情况。

算法提高递推求值
时间限制：1.0s 内存限制：256.0MB
问题描述
　　已知递推公式：

　　F(n, 1)=F(n-1, 2) + 2F(n-3, 1) + 5,

　　F(n, 2)=F(n-1, 1) + 3F(n-3, 1) + 2F(n-3, 2) + 3.

　　初始值为：F(1, 1)=2, F(1, 2)=3, F(2, 1)=1, F(2, 2)=4, F(3, 1)=6, F(3, 2)=5。
　　输入n，输出F(n, 1)和F(n, 2)，由于答案可能很大，你只需要输出答案除以99999999的余数。
输入格式
　　输入第一行包含一个整数n。
输出格式
　　输出两行，第一行为F(n, 1)除以99999999的余数，第二行为F(n, 2)除以99999999的余数。
样例输入
4
样例输出
14

21
数据规模和约定
　　1<=n<=10^18。
ps: 矩阵快速幂的应用。第一次遇到要将两个递推公式合并。根据题目给的两个递推公式，我们可以得到一个矩阵向量，先记为Fn, 如图：
这里写图片描述
这题与之前推导矩阵递推公式不同，需要对原来的递推公式稍加变形，如增加f(n - 2).
接下来求出矩阵Fn-1, 然后求出递推的矩阵（相当于等比数列的公比Fn-1 * q = Fn）和F1 = {6,5,1,4,2,3,5,3},如图

注意：求解过程需要注意模运算的正确性。

#include<iostream>
#include<cstdlib>
#include<cstdio>
#include<cstring>
#define mod 99999999
using namespace std;
const int N = 8;
void multi(long long matrix1[][N], long long matrix2[][N])
{
    long long temp[N][N]= {0};
    for(int i = 0; i < N; i++)
        for(int j = 0; j < N; j++)
        for(int k = 0; k < N; k++)
        {
            temp[i][k] += ((matrix1[i][j] % mod) * (matrix2[j][k] % mod)) % mod;
            temp[i][k] = temp[i][k] % mod;
        }
    for(int i = 0; i < N; i++)
        for(int j = 0; j < N; j++)
        matrix1[i][j] = temp[i][j];
}
long long ans[N][N];
void pow(long long matrix[][N], long long n)
{
    memset(ans, 0, sizeof ans);
    for(int i = 0; i < N; i++)ans[i][i] = 1;
    while(n > 0)
    {
        if(n & 1) multi(ans, matrix);
        multi(matrix, matrix);
        n = n >> 1;
    }
}
void multi1(long long matrix1[][8], long long matrix2[][1])
{
    long long temp[N][N] = {0};
    for(int i = 0; i < N; i++)
        for(int j = 0; j < N; j++)
        for(int k = 0; k < 1; k++)
        {
            temp[i][k] += ((matrix1[i][j] % mod) * (matrix2[j][k] % mod)) % mod;
            temp[i][k] = temp[i][k] % mod;
        }
    for(int i = 0; i < N; i++)
        for(int j = 0; j < 1; j++)
        {
            matrix2[i][j] = temp[i][j];
        }
}
int main()
{
    long long n;
    while(cin>>n)
    {
        long long A[8][1] = {6,5,1,4,2,3,5,3};
        long long matrix[8][8] = {
            0,1,0,0,2,0,1,0,
            1,0,0,0,3,2,0,1,
            1,0,0,0,0,0,0,0,
            0,1,0,0,0,0,0,0,
            0,0,1,0,0,0,0,0,
            0,0,0,1,0,0,0,0,
            0,0,0,0,0,0,1,0,
            0,0,0,0,0,0,0,1 };
        pow(matrix, n - 1);
        if(n == 1){
            memset(ans, 0, sizeof ans);
            for(int i = 0; i < 8; i++)ans[i][i] = 1;
        }
        multi1(ans, A);
        cout<<A[4][0]<<endl;
        cout<<A[5][0]<<endl;
    }
    return 0;
}