时空复杂度

时空复杂度
输入规模
不同的人在不同的场合下，对于输入规模（input scale）的理解可以不同。一般而言，输入规模应当能描述输入所需的空间。例如，如果算法要求输入一条数列（数组），则输入规模n应当是数列的长度。
时间复杂度
时间复杂度（time complexity）是关于输入规模的函数，用于描述算法执行所需要的时间与输入规模的关系。
一般地，我们开发一个算法，最终都是要将其应用到输入规模极大的场合中的。比如，我们开发一个排序算法，可能在算法的原型形成之前，大都只考虑对几十个、几百个数排序，但之后我们就要将其推广到对几百万甚至几十亿个数排序的情况。所以，一般不考虑算法在处理小规模问题时耗费的时间，而主要关注处理大规模问题时算法的表现。对于小规模的输入，不同算法的效率差异不明显，并且针对小规模的问题做优化耗费的精力相比收益而言是不经济的。而处理很大规模的输入时，效率的些许差异都可以对算法实际的耗时产生巨大影响。因此，通常考察渐进时间复杂度（asymptotic computational complexity），即当输入规模n趋于正无穷大时，算法的运行时间的极限。
几种记号
大O记法
若存在正的常数c和函数f(n)，使得对任何正数n均有
0≤T(n)≤cf(n)
则f(n)为算法运行耗时T(n)的一个渐进上界，又记为
T(n)=O(f(n))
这种记法也称大O记法（Big-O notation）。不难导出大O符号的如下性质：
█(∀c>0, O(f(n))=O(cf(n))#(1) )
█(∀a>b>0, O(n^a+nb )=O(n^a )#(2) )
此外，也有小o记号，其区别只是将T(n)≤cf(n)改为
T(n)<cf(n)
可见，大O符号描述算法执行时间的最坏情况。它告诉我们：对任意的输入规模n，算法的耗时都不超过O(f(n))。有些情况对算法的最坏时间复杂度具有硬性要求。举例来说，对于控制核电站运行、管理或辅助手术的计算机系统而言，不可以用最好情况以及平均情况的时间复杂度作为主要的评判标准。
大Ω记法
若存在正的常数c和函数f(n)，使得对任何正数n均有
T(n)≥cg(n)
则g(n)为算法运行耗时T(n)的一个渐进下界，又记为
T(n)=Ω(g(n))
这种记法也称大Ω记法。大Ω记号是对算法执行效率的乐观估计。它告诉我们：对任意的输入规模n，算法的耗时都不低于Ω(g(n))。
此外，也有小ω记号，其区别只是将T(n)≥cg(n)改为
T(n)>cg(n)
大Θ记法
若f(n)=O(g(n)), f(n)=Ω(g(n))，则记f(n)=Θ(g(n))。大Θ记法是对算法的时间复杂度的定量界定，是对时间复杂度的较为准确的估计：对任何的输入规模n，算法的耗时T(n)都与Θ(g(n))同阶。

空间复杂度
除了执行时间的长短，算法所需的存储空间多少也是衡量其性能的一个重要方面，这就是空间复杂度（space complexity）。上述记号也适用于空间复杂度，这里不再重复说明。
为了更客观的评价算法性能的优劣，原始输入本身所占用的空间通常不计入空间复杂度。
算法的时间度复杂度一般也会限制空间复杂度不超过某个上界。但是，在对空间要求非常高的应用场景中，或问题的输入规模极为庞大时，仍然需要考察空间效率，并尽力在空间效率方面不断优化。