线性代数

行列式

 

n阶行列式的定义、性质及其计算方法。n阶行列式求解n元线性方程组的克拉默法则

1. 二阶与三阶行列式

    1）二元线性方程组与二阶行列式

        a）二阶行列式：定义；元素（元）；行标；列标；

        b）对角线法则（实线上正号，虚线上负号）

        c）系数行列式

        d）求解二元线性方程组

    2）三阶行列式

        a）定义

    3）对角线法则只适用于二阶与三阶行列式，更高阶需用全排列的知识，引出n阶行列式的定义

2. 全排列及其逆序数

    1）全排列：

            a）定义；种数

    2）排列的逆序数：

        a）逆序数的定义；

        b）排列的逆序数定义；

        c）奇排列；偶排列

    3）计算排列的逆序数的方法

3. n阶行列式的定义

    1）n阶行列式的定义

    2）对角行列式

    3）上（下）三角形行列式

4. 对换

    1）为研究n阶行列式的性质，先来讨论对换以及它与排列的奇偶性的关系

    2）对换：

        a）对换定义

        b）相邻对换

    3）定理1：

        a）内容：一个排列中的任意两个元素对换，排列改变奇偶性

        b）推论：奇排列变成标准排列的对换次数为奇数，偶排列变成标准排列的对换次数为偶数

    4）定理2：

        a）n阶行列式的另一种定义（列标为自然排列，行标变）

        b）由定理1及其推论得来

5. 行列式的性质

    1）性质1：行列式与它的转置行列式相等

        a）内容

        b）证明（定理2）

        c）行列式的行列具有同等地位

    2）性质2：互换行列式的两行（列），行列式变号

        a）内容

        b）证明（定理1）

        c）推论：如果行列式有两行（列）完全相同，则此行列式等于零

    3）性质3：行列式的某一行（列）中所有元素都同乘以一个数，等于用该数乘以此行列式

        a）推论：行列式中某一行（列）的所有元素的公因子可以提到行列式记号的外面

    4）性质4：行列式中如果有两行（列）元素成比列，则此行列式等于零

    5）性质5：若行列式的某一列（行）的元素都是两数之和，则D等于下列两个行列式之和...

    6）性质6：把行列式的某一列（行）的各元素乘以同一个数，然后加到另一列（行）对应的元素上去，行列式不变

    5）利用行列式的性质计算行列式

6. 行列式按行（列）展开

    1）代数余子式

        a）余子式

        b）代数余子式

    2）引理：

    3）定理3（行列式按行（列）展开法则）：

        a）内容：行列式等于它的任一行（列）各元素与其对应的代数余子式乘积之和；

        b）证明（引理）

        c）范德蒙德行列式

        d）推论

    4）代数余子式的重要性质（综合定理3及其推论）

7. 克拉默法则

    1）克拉默法则：如果线性方程组的系数行列式不等于零，则方程组有唯一解

    2）定理4及其逆否定理

    3）定理5：如果齐次线性方程组的系数行列式不等于零，则其没有非零解；逆否定理

矩阵及其运算

 

 

 

1. 矩阵

    1）定义：元；

    2）实矩阵、复矩阵；n阶矩阵（n阶方阵）；行矩阵（行向量）、列矩阵（列向量）；同型矩阵（行列数均相等）；两矩阵相等；零矩阵；系数矩阵；n阶单位矩阵（单位阵）、对角矩阵（对角阵）

    3）矩阵和线性变换之间存在一一对应关系，因此可用矩阵来研究线性变换，也可用线性变换来解释矩阵的含义

2. 矩阵的运算

    1）矩阵的加法

        a）定义

        b）同型矩阵有意义

        c）运算规律（交换律、结合律）

        d）矩阵的减法：负矩阵；矩阵的减法

    2）数与矩阵相乘

        a）定义

        b）运算律

        c）矩阵的线性运算：矩阵相加+数乘矩阵

    3）矩阵与矩阵相乘

        a）定义

        b）第一个矩阵（左矩阵）的列数等于第二个矩阵（右矩阵）的行数

        c）必须注意矩阵相乘的顺序

        d）运算律

        e）纯量阵

        f）矩阵的幂：定义；方阵才有意义；运算律

    4）矩阵的转置

        a）定义

        b）运算律（4条）

        c）对称矩阵（对陈阵）

    5）方阵的行列式

        a）定义

        b）运算律（3条）det（A*B）=det（A）*det（B）

        c）矩阵A的伴随矩阵（伴随阵）：定义；AA* = A*A = det(A)E

    6）共轭矩阵

        a）定义

        b）运算律（3条）

3. 逆矩阵

    1）逆矩阵：定义；唯一

    2）定理1：若矩阵A可逆，则det(A)不等于零

    3）定理2：

        a）内容：若det(A)不等于零，则矩阵A可逆，且其为(1/det(A))A*（A*为A的伴随矩阵）

        b）奇异矩阵（det(A)=0）、非奇异矩阵

        c）矩阵A为可逆矩阵的充要条件：det（A）不等于零（可逆矩阵就是非奇异矩阵）

        d）推论

    4）运算律（4条）

    5）矩阵A的m次多项式

        a）定义

        b）计算A的多项式

4. 矩阵的分块法

    1）分块矩阵

    2）分块矩阵的运算规律（和、数与其相乘、乘法、转置、分块对角矩阵）

    3）克拉默法则

向量组的线性相关性

 

 

 

1. 向量组及其线性组合

    1）向量：定义；实向量、复向量；行向量、列向量；

    2）向量空间：定义；n维向量空间中的n-1维超平面；向量组；含有限个向量的有序向量组与矩阵一一对应

    3）向量组的线性组合：定义；向量是向量组的线性组合（向量能由向量组线性表示）

    4）定理1：向量能由向量组线性表示的充要条件

    5）定理2（向量组能由向量组线性表示的充要条件）及其推论（两向量组等价的充要条件）

    6）定理3：向量组B能由向量组A线性表示，R(A)<=R(B)

    7）n维单位坐标向量

2. 向量组的线性相关性

    1）向量组的线性相关性：定义

    2）定理4：向量组线性相关的充要条件

    3）定理5：向量组线性相关性的性质（3条）

3. 向量组的秩

    1）向量组的秩：最大线性无关向量组；向量组的秩

    2）定理6：R(A)=R(A的列向量组)=R(A的行向量组)；推论（最大无关组的等价定义）

4. 线性方程组的解的结构

    1）向量方程解向量的性质（4条）

    2）齐次线性方程组的基础解系

    3）定理7：m*n矩阵A，R(A)= r，则n元齐次线性方程组Ax=0的解集S的秩Rs = n-r

    4）求解齐次线性方程组（基础解系）

    5）求解非齐次线性方程组

5. 向量空间

    1）向量空间：定义；子空间；基；维数；向量在基中的坐标；自然基

    2）坐标变换公式；过渡矩阵

相似矩阵及二次型

 

 

 

1. 向量的内积、长度及正交性

    1）向量的内积：定义；性质（4条）

    2）向量的长度：定义；性质（3条）

    3）向量的正交性：定义；规范正交基；施密特正交化；

    4）正交矩阵：定义；方阵A为正交矩阵的充要条件；性质（2条）

    5）正交变换

2. 方阵的特征值与特征向量

    1）定义：方阵的特征值；方阵的对应于特征值的特征向量；方阵的特征方程；

    2）方阵A的特征值r的性质（4条）：方阵所有特征值之和等于方阵对角元素之和；所有特征值之积等于方阵的行列式；r*r为A*A的特征值；A可逆，则1/r为A逆矩阵的特征值

    3）定理2：方阵的m个特征值各不相等，则其对应的m个特征向量线性无关

3. 相似矩阵

    1）相似矩阵定义

    2）定理3：n阶矩阵A与B相似，则A与B的特征多项式相同，从而特征值亦相同；推论（A与对角阵相似，则对角阵的对角元素即为A的特征值）

    3）定理4：n阶矩阵A与对角阵相似的充要条件是A有n个线性无关的特征向量；推论（n个特征值互不相等）

4. 对称矩阵的对角化

    1）定理5：对称阵的特征值为实数

    2）定理6：对称阵的两特征值不相同，则其对应的特征向量正交

    3）定理7(对角阵)及其推论

    4）对称阵A对角化的步骤

5. 二次型及其标准型

    1）二次型：定义；二次型的标准型；二次型的规范型；二次型与矩阵一一对应；二次型的矩阵；对称阵的二次型；二次型的秩

    2）矩阵的合同

    3）定理8

6. 用配方法化二次型成标准型

    1）拉格朗日配方法

7.正定二次型

    1）定理9（惯性定理）

    2）正定二次型、负定二次型；对称阵的正定、负定

    3）定理10：二次型为正定的充要条件是它的标准型的n个系数全为正；推论（对称阵A正定充要条件A的特征值全为正）

    4）定理11（霍尔维茨定理）：对称阵A为正定的充要条件是A的各阶主子式都为正；A为负定的充要条件是奇数阶主子式为负，偶数阶主子式为正

 

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