差分前缀和

前缀和差分

有一列数字，多次询问一个区间的和
做法其实很简单，预处理一个数组sum[i]=a[i]+a[i-1]+a[i-2]+…+a[1]
所以想求一个区间只需要用b[r]-b[l]+1即可

for(int i=1;i<=n;i++)
	{
		cin>>a[i];
		sum[i]=a[i]+sum[i-1];
	}

二维前缀

对于二维数组a(1,1)…a（n,m）考虑把他画到一个平面上，某一个位置的前缀和就是他左下方的所有数的和
如果想求一个二维前缀的话，可以先求一个一维前缀和，再对另一个维度进行求即可

差分

有一列数，我们多次进行区间加的操作，最后询问每一个位置
可以使用前缀和的逆变换，令sum[i]=a[i]-a[i-1]，其中sum数组叫做差分数组
所以有了差分数组，我们就能解决这个问题了，所以对于a区间求和，只需要将两个边界点进行一个修改，b[L]+=v，b[R+1]-=v就好，至于为什么这么操作，因为数组是两个数的差，边界点的两个数会多加或者少加，所以做一些修改即可，最后还得来一下前缀和

for(int i=1;i<=n;i++)
	a[i]=b[i]+a[i-1];//进行更新

二维差分

同样，就是差分搬到了二维平面上
其实画一个图就能很好的理解，需要一维一维的求解
二维前缀和，b[x,y]=b[x-1,y]+b[x,y-1]+b[x-1,y-1]+a[x,y]
矩阵求和，S(x1，y1，x2，y2)=b[x2，y2]-b[x1-1，y2]-b[x2，y1-1]+b[x1-1,y1-
二维差分，b[x，y]=a[x，y]+a[x-1，y-1]-a[x-1，y]-a[x，y-1]
修改矩形，[x1，y1，x2，y2]等价于b[x1，y1]+=v，b[x2+1，y2+1]+=v，b[x1，y2+1]-=v，b[x2+1，y1]-=v
打了半个小时，晚上画图证明…

总结

差分以及前缀和，有很多东西统计起来比较复杂，得不到很好的时间复杂度（注：时间10⁷是1s限制），所以我们可以通过差分来解决问题，降低时间复杂度，这种算法是分厂神奇的，通过一个小节点的改动加上差分数组就可以进行一个更新