[BZOJ1497][NOI2006]最大获利（最大权闭合子图）

最新推荐文章于 2019-03-16 15:36:39 发布

_Mocha_

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分类专栏：最大权闭合子图

本文链接：https://blog.youkuaiyun.com/CABI_ZGX/article/details/78603044

最大权闭合子图专栏收录该内容

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本文介绍了一种基于网络流的最大权闭合子图问题解决方案，通过具体实例讲解了如何利用最大流-最小割原理解决实际问题，并提供了完整的代码实现。

摘要生成于 C知道，由 DeepSeek-R1 满血版支持，前往体验 >

原题链接：http://www.lydsy.com/JudgeOnline/problem.php?id=1497

Description
新的技术正冲击着手机通讯市场，对于各大运营商来说，这既是机遇，更是挑战。THU集团旗下的CS&T通讯公司在新一代通讯技术血战的前夜，需要做太多的准备工作，仅就站址选择一项，就需要完成前期市场研究、站址勘测、最优化等项目。在前期市场调查和站址勘测之后，公司得到了一共N个可以作为通讯信号中转站的地址，而由于这些地址的地理位置差异，在不同的地方建造通讯中转站需要投入的成本也是不一样的，所幸在前期调查之后这些都是已知数据：建立第i个通讯中转站需要的成本为Pi（1≤i≤N）。另外公司调查得出了所有期望中的用户群，一共M个。关于第i个用户群的信息概括为Ai, Bi和Ci：这些用户会使用中转站Ai和中转站Bi进行通讯，公司可以获益Ci。（1≤i≤M, 1≤Ai, Bi≤N） THU集团的CS&T公司可以有选择的建立一些中转站（投入成本），为一些用户提供服务并获得收益（获益之和）。那么如何选择最终建立的中转站才能让公司的净获利最大呢？（净获利 = 获益之和 - 投入成本之和）

Input
输入文件中第一行有两个正整数N和M 。第二行中有N个整数描述每一个通讯中转站的建立成本，依次为P1, P2, …, PN 。以下M行，第(i + 2)行的三个数Ai, Bi和Ci描述第i个用户群的信息。所有变量的含义可以参见题目描述。

Output
你的程序只要向输出文件输出一个整数，表示公司可以得到的最大净获利。

Sample Input
5 5
1 2 3 4 5
1 2 3
2 3 4
1 3 3
1 4 2
4 5 3

Sample Output
4

HINT
【样例说明】
选择建立1、2、3号中转站，则需要投入成本6，获利为10，因此得到最大收益4。
【评分方法】
本题没有部分分，你的程序的输出只有和我们的答案完全一致才能获得满分，否则不得分。
【数据规模和约定】 80%的数据中：N≤200，M≤1 000。 100%的数据中：N≤5 000，M≤50 000，0≤Ci≤100，0≤Pi≤100。

一定要注意数组范围不要开小了！！我RE了很多次！！

此题是最大权闭合子图的裸题，最大权闭合子图的话可以看一看胡伯涛的论文结合这篇博客去理解，是基于网络流中最大流-最小割的一个应用，一般是处理一些带依赖关系的图。
对于这道题，我们可以发现在这个图里面，点带负权（其实是正权理解成负权），边带正权且边依赖点，那么答案就是MAX(∑w-∑p) （w是边权，p是点权），那么我们只要将边和点分开来建在一个图里面，然后求出这个图的最大权闭合子图即可。
这个图大概长这个样子：
这里写图片描述
因为长度为INF的边是不可能成为割的，那么割左边，就代表我不选择这个点，不记上这个点的花费，如果割右边就代表我不选择这条边，不记上这条边的花费。
边还没有建完，对于点向ed建权值为pi的边，对于st到边建权值为ei的边，
这样正权和-最小割就是花费啦。（这也是求最大权闭合子图的思想）
这道题是被动地边依赖点，那么我们要围绕这个性质来建边。

code：

#include<cstdio>
#include<iostream>
#include<cstring>
#include<algorithm>
using namespace std;
const int maxn=110000;
const int M=9999999;
struct node
{
    int x,y,c,next,other;
}a[maxn*5]; int len,last[maxn*4];
int st,ed;
inline void ins(int x,int y,int c)
{
    int k1,k2;
    len++; k1=len;
    a[len].x=x;a[len].y=y;a[len].c=c;
    a[len].next=last[x];last[x]=len;
    len++; k2=len;
    a[len].x=y;a[len].y=x;a[len].c=0;
    a[len].next=last[y];last[y]=len;
    a[k1].other=k2;
    a[k2].other=k1;
}
int list[maxn*5],head,tail,h[maxn];
inline bool bfs()
{
    memset(h,0,sizeof(h)); h[st]=1;
    list[1]=st,head=1,tail=2;
    while(head!=tail)
    {
        int x=list[head];
        for(int k=last[x];k;k=a[k].next)
        {
            int y=a[k].y;
            if(a[k].c>0 && h[y]==0)
            {
                h[y]=h[x]+1;
                list[tail++]=y;
            }
        }
        head++;
    }
    if(h[ed]>0) return true;
    else return false;
}
inline int findflow(int x,int f)
{
    if(x==ed) return f;
    int s=0,t;
    for(int k=last[x];k;k=a[k].next)
    {
        int y=a[k].y;
        if(a[k].c>0 && h[y]==h[x]+1 && s<f)
        {
            t=findflow(y,min(f-s,a[k].c));
            s+=t; a[k].c-=t; a[a[k].other].c+=t;
            if(s==f) return s;
        }
    }
    if(s==0) h[x]=0;
    return s;
}
int dinic()
{
    int s=0;
    while(bfs())
    {
        s+=findflow(st,M);
    }
    return s;
}
int main()
{
    int n,m;
    scanf("%d%d",&n,&m);
    memset(last,0,sizeof(last)); len=0;
    st=n+m+1,ed=st+1;
    for(int i=1;i<=n;i++)
    {
        int d;scanf("%d",&d);
        ins(i+m,ed,d);
    }
    int ans=0;
    for(int i=1;i<=m;i++)
    {
        int x,y,c;scanf("%d%d%d",&x,&y,&c);
        ans+=c;
        ins(st,i,c);
        ins(i,x+m,M);
        ins(i,y+m,M);
    }
    printf("%d\n",ans-dinic());
    return 0;
}