锻造 (forging)

最新推荐文章于 2022-01-12 15:00:00 发布

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题目
分析
代码

题目

Description 题目背景
题目描述

Input
第一行两个整数 $n$ ， $a$ ，含义如题所示。
为了避免输入量过大，第二行五个整数 $b x$ ， $b y$ ， $c x$ ， $c y$ ， $p$ ，按照下列代码来生成 $b$ 和 $c$ 数组。

b[0]=by+1;c[0]=cy+1;
for(int i=1;i<n;i++){
	b[i]=((long long)b[i-1]*bx+by)%p+1;
	c[i]=((long long)c[i-1]*cx+cy)%p+1;
}

Output
输出一行一个整数，表示期望花费。

Sample Input1
0 6432
4602677 3944535 2618884 6368297 9477531

Sample Input2
1 3639650
6136976 5520115 2835750 9072363 9302097

Sample Input3
10 2
2 33 6 66 2333333

Sample Input4
200 5708788
0 0 0 0 1

Sample Output1
6432

Sample Output2
150643649

Sample Output3
976750710

Sample Output4
696441597

Data Constraint
特殊数据点数据范围

分析

考试的时候发现解决了 $n = 1$ 的情况就可以得60分（ $p = 1$ 的时候输出 $n = 1$ 的结果即可），所以从 $n = 1$ 的情况入手。考虑只要有任意两个零级合成成功了就有了一级剑，否则就会少一个零级剑，少了一个零级剑就必须多买一个零级剑，那么 $n = 1$ 的期望就很简单了： $E=2a\cdot p+3a\cdot(1-p)\cdot p+4a\cdot(1-p)^2\cdot p+\cdots$
其中 $p$ 是合成成功的概率，即 $\dfrac{\min\{c_0,b_0\}}{c_0}$ 。
表示买两把零级剑就合成成功，买三把合成成功，买四把合成成功……的情况。

提个 $a p$ ： $E=ap\lim_{n\to +\infty}\left[2+3(1-p)+4(1-p)^2+5(1-p)^3+\cdots+n(1-p)^{n-2}\right]$
设 $t = 1 - p$ ，要化简的就是 $S=\lim_{n\to +\infty}(2+3t+4t^2+5t^3+\cdots+nt^{n-2})$

等比数列错位相减： $\begin{aligned} (t-1)S&=\lim_{n\to +\infty}\left[(2t+3t^2+4t^3+5t^4\cdots+nt^{n-1})-(2+3t+4t^2+5t^3\cdots+nt^{n-2})\right]\\ &=\lim_{n\to +\infty}(nt^{n-1}-\sum\limits_{i=1}^{n-2}t^i-2)\\ &=\lim_{n\to +\infty}(nt^{n-1}-\dfrac{t^{n-1}-t}{t-1}-2)\\\\ S&=\dfrac{\lim\limits_{n\to +\infty}(nt^{n-1}-\dfrac{t^{n-1}-t}{t-1}-2)}{t-1} \end{aligned}$
显然 $t < 1$ ，所以 $\lim\limits_{n\to +\infty}nt^{n-1}=0$ ， $\lim\limits_{n\to +\infty}t^{n-1}=0$ ，于是 $S=\dfrac{t-2}{(t-1)^2}=\dfrac{1-p-2}{(1-p-1)^2}=\dfrac{p+1}{p^2}$

所以 $E=ap\cdot\dfrac{p+1}{p^2}=a\dfrac{p+1}{p}$

在这个基础上考虑DP，设 $d p [i]$ 表示合成 $i$ （ $i > 1$ ）级剑的期望花费，如果合成失败，相当于少了一把 $i - 1$ 级剑，而对 $i - 2$ 级剑没有影响，从概率上来说合成 $\dfrac{1}{p}$ （ $p$ 是 $i$ 级剑合成成功的概率）次，就能合成成功，所以就要消耗 $\dfrac{1}{p}$ 把 $i - 1$ 级剑，一把 $i - 2$ 级剑，于是 $dp[i]=\dfrac{1}{p}dp[i-1]+dp[i-2]$

要用到逆元，每次 $O(\log n)$ 求要T，所以要预先线性打逆元表。

代码

#include<cstdio>
#include<algorithm>
using namespace std;

int read(){
    int x=0;bool f=0;char c=getchar();
    while(c<'0'||c>'9')f|=c=='-',c=getchar();
    while(c>='0'&&c<='9')x=x*10+(c^48),c=getchar();
    return f?-x:x;
}

#define LL long long
#define MAXN 10000000
#define MOD 998244353
int N,A;
int B[MAXN+5],C[MAXN+5];

int Pow(int x,int y){
    int ret=1;
    while(y){
        if(y&1)
            ret=(LL)ret*x%MOD;
        y>>=1;
        x=(LL)x*x%MOD;
    }
    return ret;
}

#define MAXC 10000000
int Inv[MAXC+5];
void GetInv(int n){
    Inv[1]=1;
    for(int i=2;i<=n;i++)
        Inv[i]=(LL)Inv[MOD%i]*(MOD-MOD/i)%MOD;
}

LL dp[3];//滚动数组

int main(){
    freopen("forging.in" ,"r", stdin);
    freopen("forging.out","w",stdout);
    N=read(),A=read();
    GetInv(MAXC);
    int bx=read(),by=read(),cx=read(),cy=read(),p=read();
    B[0]=by+1,C[0]=cy+1;
    for(int i=1;i<N;i++){
        B[i]=((LL)B[i-1]*bx+by)%p+1;
        C[i]=((LL)C[i-1]*cx+cy)%p+1;
    }
    int k=min(C[0],B[0]);
    int P=(LL)k*Inv[C[0]]%MOD;
    dp[0]=A;
    dp[1]=(LL)A*(1+P)%MOD*Pow(P,MOD-2)%MOD;
    for(int i=2;i<=N;i++){
        k=min(C[i-1],B[i-2]);
        P=(LL)C[i-1]*Inv[k]%MOD;
        dp[i%3]=(dp[(i-1)%3]*P%MOD+dp[(i-2)%3])%MOD;
    }
    printf("%lld",dp[N%3]);
    return 0;
}