多项式拉格朗日反演与复合逆

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Tiw 永远的神！

引入

拉格朗日反演及其扩展用于求一类 $F(G(x))=H(x)$ 的问题，其中 $F(x),H(x)$ 为已知多项式函数，$G(x)$ 为待求函数。但其只能在 $O(n\log n)$ 的时间内求得 $G(x)$ 的某一项系数。

拉格朗日反演

拉格朗日反演用于在 $O(n\log n)$ 的时间求 $[x^n]G(x)$（$[x^n]G(x)$ 表示 $G(x)$ 的 $n$ 次项的系数，下同），其中 $G(x)$ 满足 $F(G(x))=x$，$F(x)$ 为已知多项式，而 $G(x)$ 又称为 $F(x)$ 的复合逆。

有一个结论是若 $F(G(x))=x$，则 $G(F(x))=x$。
感性理解是把 $F(x)$ 作为 $x$ 代入 $F(G(x))=x$ 得到 $F(G(F(x)))=F(x)$，再把最外层的 $F(x)$ 拆掉即可，然而这显然是 错误 的证法，因为多项式函数一般不是单调（即不是双射，没有一一对应）的。当然你也可以理解为 $F(x)$ 和 $G(x)$ 互为反函数（事实上非双射的函数也没有反函数），这个结论就显然成立了。具体证法我没找到，所以就咕着吧

于是可以看出，$[x^0]F(x)=[x^0]G(x)=0,[x^1]F(x)\ne 0,[x^1]G(x)\ne 0$，不然最终结果不可能只剩下一个 $x$。
接下来开始推导，令 $G(x)={\sum }_{i=1}^n{g}_i\cdot x^i(g_1\ne 0)$，代入 $G(F(x))=x$ 得到 $$\sum _{i=1}^n{g}_i\cdot F^i(x)=x$$ 两边同时求导（注意 $F^i(x)$ 是幂函数与多项式函数的复合函数求导）得 $$\sum _{i=1}^n{g}^{}$$