51nod1584 加权约数和【线性筛】

原创于 2020-01-13 18:57:28 发布 · 153 阅读

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莫比乌斯反演同时被 2 个专栏收录

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杜教筛

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本文深入探讨了一道数学算法竞赛题目的详细解答，该题目涉及高阶数论概念，如最大公约数、最小公倍数、欧拉函数、莫比乌斯函数以及杜教筛算法。通过巧妙的数学转换，将原始问题转化为更易于解决的形式，并提供了高效的算法实现。适合对数论和算法竞赛感兴趣的读者。

摘要生成于 C知道，由 DeepSeek-R1 满血版支持，前往体验 >

题目描述：

求 $109+7\sum_{i=1}^N\sum_{j=1}^N\max(i,j)\cdot\sigma(i\cdot j)~\mod 10^9+7$
其中 $σ(i⋅j)\sigma(i\cdot j)$ 表示 $i⋅ji\cdot j$ 的约数之和，多组数据， $N≤1000000,T≤50000N\le1000000,T\le50000$

题目分析：

$∑i=1N∑j=1Nmax⁡(i,j)⋅σ(i⋅j)=2(∑i=1Ni∑j=1iσ(i⋅j))−∑i=1Ni⋅σ(i2)\begin{aligned}&\sum_{i=1}^N\sum_{j=1}^N\max(i,j)\cdot\sigma(i\cdot j)\\ =&2\left(\sum_{i=1}^Ni\sum_{j=1}^i\sigma(i\cdot j)\right)-\sum_{i=1}^Ni\cdot\sigma(i^2) \end{aligned}$
记上式大括号里的式子为 $F (N)$ ，减号后面的式子为 $G (N)$

$F(N)=∑i=1Ni∑j=1iσ(i⋅j)=∑i=1Ni∑j=1i∑x∣i∑y∣j[(x,y)==1]x∗j/y=∑k=1Nμ(k)∑i=1⌊Nk⌋ik∑j=1i∑x∣i∑y∣jxk∗jk/(yk)=∑k=1Nμ(k)k2∑i=1⌊Nk⌋i∑j=1i∑x∣ix∑j∣yjy=∑k=1Nμ(k)k2∑i=1⌊Nk⌋i⋅σ(i)∑j=1iσ(j)\begin{aligned}F(N)&=\sum_{i=1}^Ni\sum_{j=1}^i\sigma(i\cdot j)\\ &=\sum_{i=1}^Ni\sum_{j=1}^i\sum_{x|i}\sum_{y|j}[(x,y)==1]x*j/y\\ &=\sum_{k=1}^N\mu(k)\sum_{i=1}^{\lfloor\frac Nk\rfloor}ik\sum_{j=1}^i\sum_{x|i}\sum_{y|j}xk*jk/(yk)\\ &=\sum_{k=1}^N\mu(k)k^2\sum_{i=1}^{\lfloor\frac Nk\rfloor}i\sum_{j=1}^i\sum_{x|i}x\sum_{j|y}\frac jy\\ &=\sum_{k=1}^N\mu(k)k^2\sum_{i=1}^{\lfloor\frac Nk\rfloor}i\cdot\sigma(i)\sum_{j=1}^i\sigma(j) \end{aligned}$
看起来可以上杜教筛了，然而多组数据会T，N<=1000000，直接 $O(nln⁡n)O(n\ln n)$ 预处理然后 $O (1)$ 回答询问反而是更好的方式：
$F(N)=∑k=1N∑i∣kμ(ki)⋅(ki)2⋅i⋅σ(i)∑j=1iσ(j)F(N)=\sum_{k=1}^N\sum_{i|k}\mu(\frac ki)\cdot(\frac ki)^2\cdot i\cdot\sigma(i)\sum_{j=1}^i\sigma(j)$
枚举 $i$ 对 $k$ 做贡献然后前缀和一下就可以了。
$G (N)$ 是类似的处理方式，将 $σ(i2)\sigma(i^2)$ 展开为 $∑x∣i∑y∣i[(x,y)==1]x∗i/y\sum_{x|i}\sum_{y|i}[(x,y)==1]x*i/y$ ，最终可以得到：
$G(N)=∑k=1N∑i∣kμ(ki)⋅(ki)2⋅i⋅σ2(i)G(N)=\sum_{k=1}^N\sum_{i|k}\mu(\frac ki)\cdot(\frac ki)^2\cdot i\cdot\sigma^2(i)$

Code：

#include<bits/stdc++.h>
#define maxn 1000005
using namespace std;
const int mod = 1e9+7;
int T,n,p[maxn/8],mu[maxn],sig[maxn],mps[maxn],ss[maxn],F[maxn],G[maxn];
bool v[maxn];
void Prime(const int N){
	mu[1]=sig[1]=1;int m=0;
	for(int i=2;i<=N;i++){
		if(!v[i]) p[++m]=i,mu[i]=-1,sig[i]=mps[i]=i+1;
		for(int j=1,k;j<=m&&((k=i*p[j])<=N);j++){
			v[k]=1;
			if(i%p[j]==0) {sig[k]=sig[i]/mps[i]*(mps[k]=mps[i]*p[j]+1);break;}
			sig[k]=sig[i]*(mps[k]=p[j]+1),mu[k]=-mu[i];
		}
	}
	for(int i=1;i<=N;i++) ss[i]=(ss[i-1]+sig[i])%mod;
	for(int i=1;i<=N;i++)
		for(int j=1,k=i;k<=N;k+=i,j++) if(mu[j]){
			int tmp=1ll*mu[j]*j*j%mod*i%mod*sig[i]%mod;
			F[k]=(F[k]+1ll*tmp*ss[i])%mod,
			G[k]=(G[k]+1ll*tmp*sig[i])%mod;
		}
	for(int i=1;i<=N;i++) F[i]=(F[i]+F[i-1])%mod,G[i]=(G[i]+G[i-1])%mod;
}
int main()
{
	Prime(maxn-5);
	scanf("%d",&T);
	for(int t=1;t<=T;t++) scanf("%d",&n),printf("Case #%d: %d\n",t,(2ll*F[n]-G[n]+3ll*mod)%mod);
}