AtCoder Beginner Contest 144 F【概率DP】

最新推荐文章于 2025-01-12 20:35:02 发布

Master.Yi

最新推荐文章于 2025-01-12 20:35:02 发布

阅读量272

点赞数 1

CC 4.0 BY-SA版权

分类专栏：概率DP

本文链接：https://blog.youkuaiyun.com/C20181220_xiang_m_y/article/details/102773078

概率DP 专栏收录该内容

22 篇文章

订阅专栏

题目描述：

一个有向无环图，边都是从编号小的点连向编号大的点，1为起点，n为终点，1~n-1每个点至少有一条出边，从1号点每次随机选一条边走，直到走到n号点，所经过的期望边数记为 $E$ ，现在你可以断掉一条边（边的起点的出边大于1条），最小化 $E$
在这里插入图片描述

题目分析：

首先一个dfs求出 $f [i]$ 表示 $i$ 走到n的期望边数。
$f[u]=1+1deg∑vf[v]f[u]=1+\frac 1{deg}\sum_vf[v]$
官方题解是一个点的所有出边中只可能删去 $f [v]$ 最大的那条边，所以枚举删哪个点的边，然后重新DP，复杂度 $O (n m)$

但是重新DP显然太浪费，断掉一条边相当于修改起点的 $f$ 值，从而对 $f [1]$ 产生影响。
由 $g[v]=1deg∑vg[u]g[v]=\frac 1{deg}\sum_vg[u]$ 我们就可以算出1号点到 $x$ 的概率（说概率也许不太恰当，因为没有比较，本质上就是转移的总系数），那么 $g[x]∗Δf[x]g[x]*\Delta f[x]$ 就是它对1号点的贡献了。

计算 $g$ 可以直接编号由小到大枚举转移，dfs也可以编号由大到小枚举转移（这道题的边比较特殊）。

我在计算 $g$ 的时候用的是拓扑排序，但是我一开始的栈中只放入了1号点（因为想着只有g[1]=1，其它没有入度的点都没有意义），这就导致路径中的一些点受到其它没有入度的点的限制而无法转移。~~痛失AK。。QWQ。。惨啊~~

Code：

#include<bits/stdc++.h>
#define maxn 605
#define maxm maxn*maxn/2
using namespace std;
int n,m,deg[maxn],stk[maxn],top;
double f[maxn],g[maxn],ans;
vector<int>G[maxn];
double dfs(int u){
	if(u==n) return 0;
	if(f[u]) return f[u];
	for(int v: G[u]) f[u]+=dfs(v);
	return f[u]=f[u]/G[u].size()+1;
}
int main()
{
	scanf("%d%d",&n,&m);
	for(int i=1,x,y;i<=m;i++) scanf("%d%d",&x,&y),G[x].push_back(y),deg[y]++;
	dfs(1);
	g[1]=1;
	for(int i=1;i<=n;i++) if(!deg[i]) stk[++top]=i; 
	while(top){
		int u=stk[top--]; if(u==n) break;
		for(int v: G[u]){
			g[v]+=g[u]/G[u].size();
			if(!--deg[v]) stk[++top]=v;
		}
	}
	for(int u=1;u<n;u++) if(G[u].size()>1){
		double tmp=0; for(int v: G[u]) tmp+=f[v];
		for(int v: G[u])
			ans=max(ans,g[u]*(f[u]-((tmp-f[v])/(G[u].size()-1)+1)));
	}
	printf("%.10f\n",f[1]-ans);
}