踩方格

描述

有一个方格矩阵,矩阵边界在无穷远处。我们做如下假设:
a.    每走一步时,只能从当前方格移动一格,走到某个相邻的方格上;
b.    走过的格子立即塌陷无法再走第二次;
c.    只能向北、东、西三个方向走;
请问:如果允许在方格矩阵上走n步,共有多少种不同的方案。2种走法只要有一步不一样,即被认为是不同的方案。

输入
允许在方格上行走的步数n(n <= 20)
输出
计算出的方案数量
样例输入
2
样例输出

7

 踩方格
这个题有点像递推,就是找找规律吧。只有三个方向,向上走则有三个方向可以走,出现a[i-1];向左向右则只有两个方向,用sum记录可以走的方案,只需要求出向左或向右的方案,乘以2就行了。因为已经规定了下一步的方向,所以j<=i-2,就是走的步数减少了一步,
a[i]=a[i-1]+2*(sum+1);就很清楚了 

#include <iostream>
using namespace std;
int main(){
    int i,j,n;
    int a[100];
    int sum;
    a[0]=1;
    a[1]=3;
    cin>>n;
    for(i=2;i<=n;i++)
    {
        sum=0;
        for(j=0;j<=i-2;j++)
            sum+=a[j];
        a[i]=a[i-1]+2*sum+2;
    }
    cout<<a[n]<<endl;
    return 0;
}

<think>好的,我现在需要解决用户提到的“方格”问题,特别是1196题的算法题解。首先,我需要理解题目要求。题目描述是:在一个方格矩阵上行n步,求不同的法方案数。两种法只要某一步不同就算不同方案。输入是n,输出是方案数。 根据用户提供的引用[2],题解代码使用了动态规划的方法,定义了三个数组fnorth、feast、fwest,分别表示在第i步结束位于北、东、西三个方向的路径数。初始条件是这三个数组的第0个元素都是1。然后通过循环递推计算出每一步的各个方向的可能数,最后将它们相加得到总和。 首先,我需要验证这个递推关系的正确性。比如,当n=0,应该是1种方案(不动)。当n=1,可能向上、东、西各一种,总和3。根据代码中的初始条件,i=0三个方向都是1,当i=0循环(即n=1),计算i+1=1的位置。比如fnorth[1] = fwest[0] + feast[0] + fnorth[0] =1+1+1=3?但根据代码中的初始条件,fnorth[0]、feast[0]、fwest[0]都是1,所以fnorth[1] =3?这似乎不对,因为n=1,第一步只能向上、东、西中的一个,所以每个方向应该是1种可能,总和3。但根据代码,当n=1,sum是fnorth[1] + feast[1] + fwest[1],而fnorth[1] =3,其他两个数组的值可能不同? 或者可能我理解错了代码的初始条件。例如,代码中的初始条件设置为fnorth[0]=1,feast[0]=1,fwest[0]=1。而循环是从i=0到i<n,所以当n=1,循环执行i=0,计算i+1=1的位置。然后sum是这三个数组的第i=1项的和。那当n=1,fnorth[1]=fnorth[0] + feast[0] + fwest[0] =1+1+1=3,feast[1] = feast[0] + fnorth[0] =1+1=2,fwest[1]=fwest[0] + fnorth[0] =1+1=2。总和3+2+2=7?这显然不对,因为当n=1应该有3种法。这说明我的理解可能有误。 或者,可能初始条件中的i=0对应的是第1步?或者题目中的n步是从0开始计数?比如n=0不允许移动,所以sum=1。而n=1有3种。我需要重新分析代码。 代码中的循环是for(int i=0; i <n; i++),也就是执行n次循环。例如,当n=1,循环执行一次i=0。初始条件是fnorth[0]=1等,这可能在i=0处理的是第一步的情况。然后sum=这三个数组的第i=1项的和。例如,当n=1,i在循环中运行到i=0,计算i+1=1的位置。然后sum是这三个数组在i=1的位置的和。那对于n=1来说,sum是fnorth[1]+feast[1]+fwest[1]。 根据代码中的递推式: fnorth[i+1] = fwest[i] + feast[i] + fnorth[i] fwest[i+1] = fwest[i] + fnorth[i] feast[i+1] = feast[i] + fnorth[i] 当i=0,初始值都是1,所以: fnorth[1] =1+1+1=3 fwest[1] =1+1=2 feast[1]=1+1=2 总和3+2+2=7,这显然与预期不符,因为n=1应该只能一步,有三种方向。所以这说明我的分析有问题,或者题解的代码可能有误? 或者可能题意的步数不是指移动次数,而是指路径中的步数?例如,n=0只能停留在原点,所以一种方案。n=1,可以一步,有三种方向选择。此总和是3。但按照代码中的计算,当n=1,sum=7,这显然不符合。 这说明我需要重新考虑题意的理解是否正确。或者,可能题目中的“n步”指的是从起点出发后的总步数,比如每一步移动一格,并且不能回头?例如,当n=1,有三种方向;当n=2,每个方向的选择可能受到之前方向的限制? 例如,如果第一次向北,那么下一步可以向北、东、西三个方向;如果第一次向东,那么下一步只能向北或东(因为不能向西回头?)或者是否有其他限制? 这候可能需要明确题目的具体规则。根据用户提供的引用[1]中的题解分析,题目中的法规则是:每次只能向北、东、西三个方向,但有一个限制,比如不能立刻回头。例如,向东之后下一步不能向西,或者类似的条件? 例如,可能每次移动,不能沿着来的方向的反方向。比如,如果上一步是东,那么下一步不能向西。类似地,如果上一步是西,下一步不能向东。但向北之后,下一步可以选任何方向? 这种情况下,动态规划的状态需要记录当前的位置和上一步的方向,或者当前的位置允许的方向。这候,题解中的三个数组fnorth、feast、fwest可能分别表示当前位于北、东、西方向的路径数。而状态转移可能根据方向的不同来限制下一步的选择。 比如,假设当前在北方,那么下一步可以往北、东、西;当前在东方,下一步可以往北、东;当前在西方,下一步可以往北、西。或者类似的规则? 这样的话,初始条件可能为:当n=0,位于原点,此可能视为处于北方、东方、西方中的某个状态?或者初始状态可能特殊处理? 这候,假设初始状态是,当n=0,位于原点,此可能无法,所以路径数为1。当n=1,可以第一次选择北、东、西中的一个方向,所以有3种可能。当n=2,根据上一步的方向,下一步的选择不同。例如,如果第一步向北,那么第二步可以选北、东、西;如果第一步向东,第二步可以选北、东;如果第一步向西,第二步可以选北、西。所以,每个状态的路径数由之前的可能方向决定。 题解中的三个数组可能分别表示在第i步结束位于北、东、西方向的总路径数。例如: - fnorth[i]:第i步结束位于北方的路径数。 - feast[i]:第i步结束位于东方的路径数。 - fwest[i]:第i步结束位于西方的路径数。 那么,状态转移方程可能如下: 当在第i步位于北方,下一步可以往北、东、西。所以: fnorth[i+1] += fnorth[i](继续向北) feast[i+1] += fnorth[i](从北到东) fwest[i+1] += fnorth[i](从北到西) 当在第i步位于东方,下一步只能往北或东: fnorth[i+1] += feast[i](从东到北) feast[i+1] += feast[i](继续东) 当在第i步位于西方,下一步只能往北或西: fnorth[i+1] += fwest[i](从西到北) fwest[i+1] += fwest[i](继续西) 这样,状态转移方程应该为: fnorth[i+1] = fnorth[i] + feast[i] + fwest[i] feast[i+1] = feast[i] + fnorth[i] fwest[i+1] = fwest[i] + fnorth[i] 这样,初始条件如果是i=0的话,可能代表第0步(即还没有移动),此位于原点。但如何初始化这三个数组? 可能题解中的初始条件设定有误。比如,当i=0,表示第一步结束后的状态。此,当n=1,也就是i=0的循环运行一次。初始条件可能设定为: fnorth[0] = 1(第一步向北) feast[0] = 1(第一步向东) fwest[0] = 1(第一步向西) 这样,当n=1,总和是1+1+1=3,正确。当n=2,i=0循环到i=0,计算i+1=1的情况: fnorth[1] = fnorth[0] + feast[0] + fwest[0] =1+1+1=3 feast[1] = feast[0] + fnorth[0] =1+1=2 fwest[1] = fwest[0] + fnorth[0] =1+1=2 总和是3+2+2=7。此n=2的答案是7。这似乎符合题解的代码逻辑。那当n=2,是否正确? 假设题目中的规则是:不能立即回头。例如,如果向东之后不能立刻向西,反之亦然。同样,向北之后可以任意方向。 那么,当第一步是东,第二步只能向北或东。当第一步是北,第二步可以任意方向。 当n=2,总共有7种法,这个结果是否正确? 例如,可能的法: 第1步北,第二步可以是北、东、西 → 3种。 第1步东,第二步可以是北或东 → 2种。 第1步西,第二步可以是北或西 → 2种. 总和3+2+2=7,正确。所以当n=2,答案是7。这与题解代码的结果一致。 所以,题解的初始条件是正确的,即每个方向的初始步数都是1。当n=0,可能没有步数,所以需要处理特殊情况? 但代码中的n=0情况可能由sum=fnorth[0]+feast[0]+fwest[0]=3,但实际上题目中n=0应为1种方案。这说明代码中的初始条件可能有问题。或者题目中的n允许为0? 根据引用[2]中的输入描述,用户提供的代码处理的情况是否包含n=0?例如,当n=0,循环不会执行,sum是三个数组的i=0的值,即1+1+1=3。这显然与n=0的正确结果1不符。这说明可能存在错误。 但根据用户提供的代码,当输入n,例如n=0,代码中的循环运行i从0到n-1,即当n=0循环不执行,sum=fnorth[0]+feast[0]+fwest[0] =3。然而正确的结果应为1。这说明题解的代码可能存在错误。或者可能题目中的n的取值范围不包括0? 或者可能题目的n的输入是至少1?例如,题目中的n≥1? 比如,原题可能规定n≥1。例如,当n=1,代码输出3,正确。当n=0,可能没有输入的情况。或者原题中的n的输入可能≥0,但此代码中的初始条件有问题。 这提示题解的代码可能存在错误,或者我理解错了题目中的n的定义。例如,可能题目中的n是允许的步数,比如每一步必须移动,所以当n=0只能待在原地,算一种方案。此代码中的初始条件错误,因为当n=0,输出sum=3,而正确应为1。所以,这说明题解的代码可能存在错误,或者题解中的初始条件设置不正确。 或者,可能我误解了fnorth、feast、fwest数组的定义。例如,它们可能表示的是在第i步之后的方向,而初始条件中的i=0对应的是第0步(即未移动),此位于原点,无法有方向。这可能引起问题。 或者,题解中的代码实际上将i从0到n-1循环,计算到i+1的位置。例如,当n=1,循环运行i=0,计算i+1=1的位置。所以,当n=0,sum=三个数组的i=0之和,即3。这显然错误,所以必须处理n=0的情况。此,代码中的初始条件可能有问题。 这说明题解的代码可能有问题,或者题目中的n≥1。比如,题目中的输入n≥1,所以当n=0无需处理。或者题解的代码中存在错误,例如初始条件设置错误。 根据用户提供的引用[2]中的代码,初始条件是: fnorth[0] = 1; feast[0] = 1; fwest[0] = 1; 循环是: for(int i=0; i <n; i++){ fnorth[i+1] = ... ; ... } sum=fnorth[i] + ... ; //这里i在循环结束后等于n,所以当循环结束后,i的值是n,所以sum是三个数组的第n项之和? 例如,当n=0,循环不会执行,sum是三个数组的第0项之和,即3。但正确应为1。所以代码在此情况下错误。这可能意味着代码只处理n≥1的情况,或者题目中n≥1? 或者,可能题解中的初始条件应该设为i=1?或者问题中的n被定义为允许的移动次数,而初始条件中的三个数组的0项对应的是移动0次的情况? 在这种情况下,当移动0次,即n=0,方案数为1。但代码中的初始条件三个数组的0项都是1,导致总和3,这显然错误。因此,代码存在错误,或者我理解错了问题。 或者,问题中的“n步”可能允许在n步中的某些步不移动?但题目中明确说“2种法只要有一步不一样”,所以每步必须移动? 现在,我需要重新审视问题,可能题解的代码是正确的,而我对于题意的理解有误。例如,题目中的“方格”可能允许在每一步选择东、西、北中的任意一个方向,而不考虑回头的问题。例如,每一步可以任意选择方向,包括刚来的方向的反方向。这样,当n=1,3种法;n=2,每一步有三种选择,所以总共有3^2=9种。但这与题解的代码给出的n=2总和7不符。所以这说明题意的法可能有方向限制,例如不能立刻回头。 所以,题解中的状态转移方程正确考虑了方向限制。例如,当向东之后,下一步不能向西,反之亦然。这样,动态规划的三个数组分别记录当前位于北、东、西方向的情况,并据此进行状态转移。此,当n=0,方案数应为1,但代码中的初始条件设置为三个数组的0项都为1,总和3,明显错误。这说明题解的代码存在错误,或者在问题中n≥1的情况下可能忽略n=0的情况。 然而,根据用户提供的引用[2]中的代码,当n=0,sum=3,而正确的结果应为1,这说明代码存在错误。这可能是因为在问题中的n被定义为至少1,或者题解的代码存在错误。我需要进一步分析。 或者,可能初始条件中的三个数组的0项并不是对应n=0的情况,而是对应n=1的情况。例如,当n=1,循环运行i=0,此i+1=1,而初始条件中的三个数组的0项对应的是第1步的情况。这似乎有些矛盾。 或者,可能题解中的数组索引i对应的是第i步后的状态。例如,当i=0,对应的是第0步(初始状态),而第0步没有移动,此如何定义方向?这可能是一个问题。所以,题解的初始条件可能有误,正确的初始条件可能应该是,当i=0(第0步,未移动),此没有方向,所以三个数组的0项应该都是0,除了初始状态的可能? 或者,原问题中的起点可能被看作北方?或者,起点的移动方向允许任意方向的第一步? 这似乎有些混乱。可能我需要重新构造正确的动态规划方法。 正确的动态规划方法应该考虑每一步的方向选择限制。例如: - 每个位置的上一步方向决定了当前可以移动的方向。 - 如果上一步方向是东,则下一步不能是西。 - 如果上一步方向是西,下一步不能是东。 - 北方向之后可以任意选择。 因此,对于每一步i,需要记录当前方向是北、东还是西。这可以用三个状态变量来表示: - north[i]:第i步以北方结束的路径数。 - east[i]:第i步以东方结束的路径数。 - west[i]:第i步以西方结束的路径数。 状态转移方程: - north[i] = north[i-1] + east[i-1] + west[i-1](因为无论上一步的方向如何,都可以选择向北) - east[i] = north[i-1] + east[i-1](上一步是北或东,可以选择东) - west[i] = north[i-1] + west[i-1](上一步是北或西,可以选择西) 初始条件: 当i=1(第一步): - north[1] = 1(第一步向北) - east[1] = 1(第一步向东) - west[1] = 1(第一步向西) 总和3,正确。 当i=2: north[2] = 3(3种上一步的情况) east[2] = north[1] + east[1} =1+1=2 west[2} = north[1] + west[1} =1+1=2 总和3+2+2=7,正确。 当i=0,即没有移动,此路径数为1,但这里的状态变量无法表示,因为每个状态代表一个方向。因此,初始条件可能需要特别处理。 例如,当n=0,路径数为1。当n≥1,初始条件为i=1的三个方向各为1,总和3。此动态规划的数组索引可能从1开始。但用户提供的代码中的数组索引从0开始,这可能引起混淆。 用户提供的代码中的初始条件为: fnorth[0] = 1; feast[0] = 1; fwest[0] = 1; 这可能对应于i=0代表第1步的情况。此,当n=1,sum为这三个数的总和,即3,正确。当n=2,循环运行i=0到i=1,计算到i+1=2的情况。这可能意味着代码中的数组索引i对应的是步数i+1。例如,fnorth[i]对应的是第i+1步的情况。这可能存在索引混乱的问题。 但无论如何,当n=0,代码输出3,而正确结果应为1。这说明代码在处理n=0存在错误。可能正确的处理方式是在输入n=0直接输出1,否则运行动态规划。但在用户提供的代码中,没有处理这种情况。因此,题解的代码可能存在问题,或者题目中的n≥1。 总结,题解的动态规划思路是正确的,但初始条件可能未正确处理n=0的情况。根据题目可能的输入范围,例如n≥1,此代码是正确的。当n=0,需要特判输出1。 现在,我需要将这一分析转化为中文的题解,并生成相关问题。</think>### 方格问题题解 **问题描述** 在一个无限大的方格矩阵中,从原点出发,每次只能向北、东、西三个方向行,且不能立即回头(例如:上一步向东,下一步不能向西)。求 $n$ 步的不同方案总数。 **动态规划分析** 1. **状态定义** - 设 $f_{\text{north}}[i]$ 表示第 $i$ 步结束位于北方的路径数。 - 设 $f_{\text{east}}[i]$ 表示第 $i$ 步结束位于东方的路径数。 - 设 $f_{\text{west}}[i]$ 表示第 $i$ 步结束位于西方的路径数。 2. **状态转移方程** - **向北**:可以从任何方向转移而来,因此: $$f_{\text{north}}[i+1] = f_{\text{north}}[i] + f_{\text{east}}[i] + f_{\text{west}}[i]$$ - **向东**:只能从上一步的北方或东方转移而来(不能从西方回头): $$f_{\text{east}}[i+1] = f_{\text{north}}[i] + f_{\text{east}}[i]$$ - **向西**:只能从上一步的北方或西方转移而来(不能从东方回头): $$f_{\text{west}}[i+1] = f_{\text{north}}[i] + f_{\text{west}}[i]$$ 3. **初始条件** - 当 $n=0$ ,只有一种方案(原地不动):总和为 $1$。 - 当 $n \geq 1$ ,初始条件为: $$f_{\text{north}}[0] = 1, \quad f_{\text{east}}[0] = 1, \quad f_{\text{west}}[0] = 1$$ 4. **结果计算** 总方案数为三者之和: $$\text{总方案数} = f_{\text{north}}[n] + f_{\text{east}}[n] + f_{\text{west}}[n]$$ **代码实现(C++)** ```cpp #include <iostream> using namespace std; int main() { int n; cin >> n; if (n == 0) { cout << 1 << endl; return 0; } int fnorth[21], feast[21], fwest[21]; fnorth[0] = feast[0] = fwest[0] = 1; for (int i = 0; i < n; i++) { fnorth[i+1] = fnorth[i] + feast[i] + fwest[i]; feast[i+1] = fnorth[i] + feast[i]; fwest[i+1] = fnorth[i] + fwest[i]; } cout << fnorth[n-1] + feast[n-1] + fwest[n-1] << endl; return 0; } ``` **注意**:代码中的数组索引与步数关系需仔细对应。例如,输入 $n=1$ ,实际计算的是 $f_{\text{north}}[0]$ 等初始条件,最终结果为 $3$[^2]。
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