题解P2727 [USACO3.2] 01串 Stringsobits

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题目分析

（1）注意到任意进制的数都有一个性质，即如果数$A$第$i$位有一个非0，那么即便数$B$所有低于$i$的位置都是最大值，有$A>B$。因此我们想到这个二进制数的某一位是0/1可能会影响它的排名。
（2）直接地，对于最高的二进制位，如果为1，那么就大于了所有最高二进制位为0的数字，我们只需判断目标位置$i$是否满足当前位置为1的结果即可。随后，如果当前位置为1，进行更新，考虑剩下的位置里最多有$min(n-1,L-1)$个1，我们将$n$与$L$均减一，同时由于已经将一部分的数“比”了下去，只需要考虑最高位是1的数的情况，需要把最高位不是1的数减去，即将$i$减掉一部分。即寻找剩下的位里排名一定的数
（3）如果当前位置不是1，即不用做处理，因为仍然能够填1的数量只与$n$,$L$有关，同时比目标数小的此位也是0，因此仍然在我们考虑之中，且没有重复考虑。
（4）考虑如何判断对前$i$位而言，第$i$位恰好是0的数字的数量。使用dp维护$f[i][j]$代表前$i$位恰好有$j$个1的数的数量，转移方程容易想到。而所求只需要分别考虑前$i$位有$j$个1的数字，对每一种情况而言数量即$f[i-1][j]$，即前$i-1$位就有$j$个1的数的数量。（可能这个组合数学也能做）

代码

#include <iostream>

using ll = long long;

const int N = 35;

ll n, L, I;
ll f[N][N];//f[i][j]表示前i位，恰好含有j个1的数字的数量
int vis[N];//即第i位是否是1

int main(){
	std::ios::sync_with_stdio(false);
	std::cin.tie(nullptr);
	std::cout.tie(nullptr);

	std::cin >> n >> L >> I;

	f[0][0] = 1;
	for(int i = 1; i <= n; ++i){
		f[i][0] = 1;
	}
	for(int i = 1; i <= n; ++i){
		for(int j = 1; j <= i; ++j){
			f[i][j] = f[i - 1][j] + f[i - 1][j - 1];
			//std::cout << i << " " << j << " " << f[i][j] << '\n';
		}
	}

	for(ll i = n; i >= 1; --i){//考虑第i位设置成1的情况
		//分别计算当L=j时，有多少个数字第i位是0
		ll sum = 1;
		for(int j = 1; j <= std::min(L, i); ++j){
			sum += f[i - 1][j];
			//std::cout << i << " " << j << " " << f[i][j] << " " << f[i - 1][j] << '\n';
		}
		//std::cout << i << " " << sum << " " << I << '\n';
		if(sum <= I - 1){
			vis[i] = 1;
			I -= sum;
			--n;
			--L;
		}
		std::cout << vis[i];
	}
	return 0;
}