有限元法求解热传导问题的 MATLAB 实现

有限元法求解热传导问题的 MATLAB 实现

热传导问题在工程和科学领域中具有重要的应用。通过有限元法，我们可以有效地模拟和解决这类问题。本文将介绍如何使用 MATLAB 实现有限元法求解维热传导问题，并提供相应的源代码。

问题描述：
考虑一个矩形区域，其边界上的温度已知，我们需要求解该区域内的温度分布。假设矩形区域的边界温度分别为 T1、T2、T3 和 T4，如下图所示：

     T1
   _______
  |       |
T4|       |T2
  |_______|
     T3

我们将使用有限元法将矩形区域离散化为一个个小单元，然后利用热传导方程进行求解。热传导方程可以表示为：

∇·(k∇T) = 0

其中，k 是热导率，T 是温度。

MATLAB 实现步骤：

1. 网格生成：
   首先，我们需要生成矩形区域的有限元网格。可以使用 MATLAB 中的 meshgrid 函数生成网格点的坐标，然后根据这些坐标构建有限元单元（如三角形或四边形）。

2. 装配刚度矩阵和载荷向量：
   刚度矩阵和载荷向量描述了有限元模型的行为。对于每个有限元单元，我们需要计算其局部刚度矩阵和载荷向量，然后将它们装配到全局刚度矩阵和载荷向量中。