衍射受限系统中在相干和非相干照明条件下的点扩散函数

写在前面

• 考虑的系统：单透镜成像系统，用一平面波照明位于平面 z = -d1 上的透明物体， 则这个面上的波场为U（x1，y1，-d1）。 首先确定平面z=d0 上的波场U（x0，y0，d0）， 然后讨论成像的条件。
  

• 几何光学是一种理想情况，与之对应的是衍射光学的内容，而本文主要探讨的是衍射光学范畴下的衍射受限系统中在相干和非相干照明条件下的点扩散函数(Point spread function)、线扩散函数(Line spread function)、边扩散函数(Edge spread function)。

• 几何光学是物点到像点的成像，而根据衍射光学的内容，由于孔径受限导致物点到艾里斑的成像，而这是同时对相干照明和非相干照明成立的。

点扩散函数

• 点扩散函数对应线性时不变系统的冲激响应，其傅里叶变换被认为是系统函数或者传递函数。
• 根据衍射、傅里叶光学及成像一书中的表述，相干条件下的点扩散函数是是透镜的变尺度瞳孔函数的二维傅里叶变换（如下所示）， 最终成像是理想图像和系统脉冲响应的卷积。在多透镜的一般成像系统中，下式仍然有效， 假设 P（·，·）表示衍射受限系统的有限等效出瞳， 如果入射到入瞳的发散球面波在出瞳处映射为会聚球面波， 则这个光学系统就是衍射受限的。
  $$h(x_0,y_0)=\int {\int }_{-\infty }^{+\infty }P(\lambda d_{0}x,\lambda d_{0}y)e^{-j2\pi (x_{0}x+y_{0}y)}dxdy$$
  而对于非相干成像系统，点扩散函数应该是
  $$h_i(x_0,y_0)=h(x_0,y_0)\cdot h^{\ast }(x_0,y_0)$$
  下一小节，将推导圆形孔径的傅里叶变换。得到点扩散函数后，可以通过线扩散函数得到边扩散函数（信息光学）。
  $$L(x)={\int }_{-\infty }^{+\infty }h(x,\beta )d\beta$$

$$E(x)={\int }_{-\infty }^{x}L(\alpha )d\alpha$$

圆形孔径的傅里叶变换

• 根据傅里叶光学导论第二章的内容可以知道，根据傅里叶-贝塞尔变换，圆域/圆形孔径的傅里叶变换由下面给出：
  B { c i r c ( r ) } = 2 π ∫ 0 R r J 0 ( 2 π r ρ ) d r \mathcal{B}\{ circ(r) \} = 2 \pi \int_0^R {r J_0 (2\pi r \rho) dr} B{circ(r)}=2π∫0R​rJ0​(2πrρ)dr
  其中 $r$ 和 $\rho$ 分别是空域和频域下的极坐标中的半径，R是圆域的半径，J_0表示一阶第一类贝塞尔函数。利用恒等式：
  $${\int }_0^x\xi J_0(\xi )d\xi =x{J}_1(x)$$
  所以经过化简得到：
  B { c i r c ( r ) } = R ρ J 1 ( 2 π R ρ ) = R 2 ⋅ 2 π ⋅ J 1 ( 2 π R ρ ) 2 π R ρ \mathcal{B}\{circ(r)\} = \frac{R}{\rho}J_1(2\pi R \rho)=R^2 \cdot 2 \pi \cdot \frac{J_1(2\pi R \rho)}{2\pi R \rho} B{circ(r)}=ρR​J1​(2πRρ)=R2⋅2π⋅2πRρJ1​(2πRρ)​
  当接近原点时，该函数收敛到R^2 \pi. 其空间分布类似于sinc函数，即中心强，四周出现振荡并衰减。

参考

• ChatGPT
• YouTube video: https://www.youtube.com/watch?v=BzucsB8t1mc
• 傅里叶光学导论 goodman
• 信息光学 苏显渝
• 衍射、傅里叶光学及成像 OKan K. Ersoy