向量投影

向量投影

给定一个向量u和v,求u在v上的投影向量,如下图。


假设u在v上的投影向量是u’,且向量u和v的夹角为theta。一个向量有两个属性,大小和方向,我们先确定u’的大小(即长度,或者模),从u的末端做v的垂线,那么d就是u’的长度。而u’和v的方向是相同的,v的方向v/|v|也就是u’的方向。所以有

                          (1)

再求d的长度。

                      (2)

最后求cos(theta)

                   (3)

联合求解方程(1)(2)(3)得到

这就是最终的投影向量。

而这个向量的长度d是

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以下是旧的推导,也保留。

<think>我们正在处理一个关于向量投影公式的查询。用户意图是数学计算,需要提供向量投影的公式及其解释。 根据数学知识,向量投影的基本公式如下: 给定两个向量 $\vec{a}$ 和 $\vec{b}$,$\vec{a}$ 在 $\vec{b}$ 上的投影是一个向量,其模长(标量投影)为: $\text{proj}_{\vec{b}} \vec{a} = \frac{\vec{a} \cdot \vec{b}}{|\vec{b}|}$ 而向量投影(即投影向量)为: $\text{proj}_{\vec{b}} \vec{a} = \left( \frac{\vec{a} \cdot \vec{b}}{|\vec{b}|^2} \right) \vec{b}$ 我们也可以写成: $\text{proj}_{\vec{b}} \vec{a} = \left( \frac{\vec{a} \cdot \vec{b}}{\vec{b} \cdot \vec{b}} \right) \vec{b}$ 为了确保准确性,我们也可以进行网络搜索确认。但根据已知知识,这个公式是标准的。 然而,根据任务要求,我们需要调用网络搜索工具进行检索。因此,我们将执行搜索以确认并获取更多解释或应用。 注意:由于这是一个标准公式,搜索将主要确认我们的记忆并可能提供额外的解释或示例。 搜索词:向量投影公式 搜索后,我们可能会得到多个来源对公式的一致表述。 整合信息后,我们将按照要求生成回答: - 避免第一人称 - 避免步骤词汇(如首先、然后),但可以分点(用方法或步骤,每个步骤间换行) - 公式必须用$或$$包裹 - 最后添加相关问题部分 回答结构: 1. 解释向量投影的概念(简要)。 2. 给出标量投影(模长)的公式。 3. 给出向量投影的公式。 4. 可能给出一个计算示例(可选,但用户意图是数学计算,所以提供例子有助于理解)。 5. 如果有,可以提到注意事项(如向量b为零向量的情况)。 注意:由于要求避免步骤词汇,我们将用分点但不使用顺序词。 最后,生成相关问题。 开始构建回答:</think>向量投影公式用于计算一个向量在另一个向量方向上的投影。设向量 $\vec{a}$ 和 $\vec{b}$($\vec{b} \neq \vec{0}$),则 $\vec{a}$ 在 $\vec{b}$ 上的投影向量 $\text{proj}_{\vec{b}} \vec{a}$ 为: $$\text{proj}_{\vec{b}} \vec{a} = \left( \frac{\vec{a} \cdot \vec{b}}{\|\vec{b}\|^2} \right) \vec{b}$$ 其中: - $\vec{a} \cdot \vec{b}$ 表示点积运算 - $\|\vec{b}\|$ 是 $\vec{b}$ 的模长,满足 $\|\vec{b}\| = \sqrt{b_1^2 + b_2^2 + \cdots + b_n^2}$ - 投影向量的方向与 $\vec{b}$ 相同 标量投影投影长度)公式为: $$\text{Scalar Proj} = \frac{\vec{a} \cdot \vec{b}}{\|\vec{b}\|}$$ ### 计算示例 若 $\vec{a} = \begin{pmatrix} 3 \\ 4 \end{pmatrix}$, $\vec{b} = \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \end{pmatrix}$: 1. 点积:$\vec{a} \cdot \vec{b} = 3 \times 1 + 4 \times 0 = 3$ 2. $\|\vec{b}\|^2 = 1^2 + 0^2 = 1$ 3. 投影向量:$\text{proj}_{\vec{b}} \vec{a} = \left( \frac{3}{1} \right) \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 3 \\ 0 \end{pmatrix}$ ### 代码实现(Python) ```python import numpy as np def vector_projection(a, b): dot_product = np.dot(a, b) norm_squared = np.dot(b, b) return (dot_product / norm_squared) * b # 示例 a = np.array([3, 4]) b = np.array([1, 0]) print("投影向量:", vector_projection(a, b)) # 输出: [3. 0.] ``` ### 关键性质 - 投影向量与 $\vec{b}$ 平行 - 当 $\vec{a}$ 与 $\vec{b}$ 垂直时,投影为零向量 - 满足线性性:$\text{proj}_{\vec{b}} (k\vec{a}) = k \cdot \text{proj}_{\vec{b}} \vec{a}$
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