算法讲义(2) -数论算法 I

  

数论算法

本章的一个重点是讨论和比较两个著名的问题：

• 因式分解（Factoring）：给定一个数字N，将其表示成素数的乘积。
• 素属性（Primality）：给定一个数字N，判断它是否是素数。

因式分解是很困难的，到目前为止，最快的算法复杂度也是N的指数幂。而另一方面，我们却可以很快的判断出N是否是素数！今天，两个问题的这种特性成为当今信息安全的核心基础。

 

基本算术

 

1.1.1加法

我们很小就对加法计算了如指掌，但是这里还是花一些时间研究一下加法算法。加法中有一个基本的属性是：

            任何三个单位数字的和(sum)的长度至多有两位。

例如三个单位数字和的最大值是9+9+9=27,长度为两位数；二进制加法亦然。

 

这个简单的属性是加法计算的基础：只要两个数字的右端对齐，然后结果的每一位都将是两个单位数字和一位进位数字（如果有的话）的和，并且保证进位数字长度也是1。举个例子：

    进位 1     1 1 1

                 110 1 0 1 (53)

                 100 0 1 1 (35)

-----------------------------------

             1 0 11 0 0 0 (88)

 

问题：给定两个二进制数x，y，求它们的和的时间复杂度是多少？

假定x和y的长度都是n位，则x+y最多是n+1位，而每一位的计算时间是固定的，因此，整个计算时间是c0+c1*n，c0和c1是常数，计算复杂度为O(n)。

问题：有没有更快的算法？

对于加法来说，答案是否定的L，我们至少需要n次操作来读些x+y。

 

有些读者可能会有些疑惑：加法运算不是只需要一条指令就可以了吗？问题是这样的条件是数字长度限制在32位以内（对x86），如果操作对象是几百，甚至几千几万位长，我们就只能按位来计算了。

 

 

1.1.2乘法和除法

接下来乘法计算，乘法计算如下例所示：

 

如果x和y的长度都是n位，则会有n行中间结果，而中间结果的和最多有2n位。

 

计算n个中间结果的和的时间复杂度为：

O(n) + O(n) + … + O(n) n-1次

即O(n^2)，显然比加法复杂度高了很多。

 

Al Khwarizmi还提出了另一种乘法算法，而且现在仍然在西方的一些国家中使用：首先，将两个乘数左右放置，如下面的例子所示，重复以下行为：将第一列数字整除2，结果写在下一行，然后将第二列数字乘2。重复计算直到第一列的数字减为1。最后移除(strike out)所有第一列数字为偶数的行，将剩余的第二列数字加起来即为乘法结果：

将这种算法用公式表示为:

  

下面是该算法的伪代码：

 

这个算法的复杂度依然是O(n^2)，有没有更好的算法呢？答案是肯定的，我们将在以后继续讨论。

至于除法，整数x除以非零整数y，等同于求商（quotient）q和余数（reminder）r，使得x=y*q+r，并且r<y。其递归算法的伪代码表示如下：