数据结构 图的基本介绍

图的定义

  图都是由顶点和边构成的。采用形式化的定义，图G（Graph）由V（Vertex）和E（Edge）两个集合组成，记为G=（V，E），其中，V是顶点的有限集合，记为V（G），E是连接V中两个不同顶点（顶点对）的边的有限集合，记为E（G）。
  通常，用字母或自然数（顶点的编号）来标识图中的顶点。约定用i（0≤i≤n-1）表示第i个顶点的编号。E（G）表示图G中边的集合，它确定了图G中数据元素的关系。E（G）可以为空集，当E（G）为空集时，图G只有顶点没有边。

1. 有向图：
   表示边的顶点对（或序偶）是有序的，则称G为有向图。在有向图中，代表边的顶点对通常用尖括号括起来，用于表示一条有向边（又称为弧），如<i,j>表示从顶点i到顶点j的一条边，用箭头表示，顶点i称为<i,j>的尾，顶点j称为<i,j>的头。
2. 无向图：
   代表边的顶点对（或序偶）是无序的，则称G为无向图。无向图中代表边的无序顶点对通常用圆括号括起来，用于表示一条无向边。如(i,j)表示顶点i与顶点j的一条无向边，(i,j)和(j,i)表示同一条边。

图的基本术语

一.端点和邻接点

1. 无向图：
   若存在一条边(i,j)，则称顶点i和顶点j为该边的两个端点，并称它们互为邻接点。
2. 有向图：
   若存在一条边<i,j>，则称此边是顶点i的一条出边，同时也是顶点j的一条入边；分别称i和j为此边的起始端点（简称为起点）和终止端点（简称为终点）；称顶点i邻接到顶点j，并称顶点j是顶点i的出边邻接点，顶点i是顶点j的入边邻接点。

二.顶点的度、入度和出度

1. 无向图：
   顶点所具有的边的数目称为该顶点的度。
2. 有向图：
   以顶点i为终点的入边数目称为该顶点的入度，以顶点i为起点的出边的数目称为该顶点的出度。一个顶点的入度和出度的和为该顶点的度。
3. 定理：若一个图中有n个顶点和e条边，每个顶点的度为d_i(0≤i≤n-1)，则有$$e=\frac{1}{2}\sum _{i=o}^{n-1}{d}_i$$
   一个图中所有顶点的度之和等于边数的两倍，因为图中的每条边分别作为两个邻接点的度各记一次。

三.完全图

  若有向图中的每两个顶点之间都存在着一条边，有向图中的每两个顶点之间都存在着方向相反的两条边，则称此图为完全图。

1. 含有n个顶点的完全无向图有边$$\frac{n(n-1)}{2}$$
2. 含有n个顶点的完全有向图有边$$n(n-1)$$

四.稠密图和稀疏图

1. 稠密图：
   当一个图接近完全图时，称之为稠密图。
2. 稀疏图：
   当一个图含有较少的边数，即
   ①无向图有$$e\ll \frac{n(n-1)}{2}$$
   ②有向图有$$e\ll n(n-1)$$

五.子图

  设有两个图G=(V,E)和G’=(V’,E’)，若$V^{\prime }\subseteq V$，且$E^{\prime }\subseteq E$，则称G’是G的子图。

六.路径和路径长度

1. 路径：
   在一个图G=(V,E)中，从顶点i到顶点j的一条路径是一个顶点序列（i,i₁,i₂,…,i_m,j）。
   ① 无向图
   边(i,i₁)、(i₁,i₂)、…(i_m-1,i_m)、(i_m,j)属于E(G)
   ②有向图
   边<i,i₁>、<i₁,i₂>、…<i_m-1,i_m>、<i_m,j>属于E(G)
2. 路径长度：
   指一条路径上经过的边的数目。
3. 简单路径：
   一条路径上除了开始点和结束点可以相同外，其余顶点均不相同。

七.回路或环

  若一条路径上的开始点和结束点为同一个顶点，则称此路径为回路或环。
开始点和结束点相同的简单路径称为简单回路或简单环。

八.连通

  在无向图或有向图G中，若从顶点i到顶点j有路径，则称顶点i和顶点j是连通的。

九.连通图和连通分量

1. 若图G中的任意两个顶点i和j都连通，则称G为连通图，否则为称为非连通图。
2. 无向图G中的极大连通图子图称为G的连通分量。任何连通图的连通分量只有它本身一个，而非连通图有多个连通分量。

十.强连通图和强连通分量

1. 若图G中的任意两个顶点i和j，从顶点i到顶点j和从顶点j到顶点i都存在路径，则称图G是强连通图。
2. 有向图G中的极大强连通图子图称为G的强连通分量。任何强连通图的强连通分量只有它本身一个，而非强连通图有多个强连通分量。

十一.关结点和重连通图

1. 关结点：
   假如在删除图G中的顶点i以及相关联的各边后，将图的一个连通分量分割成两个或多个连通分量，则称顶点i为该图的关结点。
2. 重连通图
   一个没有关结点的连通图称为重连通图

十二.权和网

1. 权：
   图中每一条边都可以附有一个对应的数值，这种与边相关的数值称为权。
2. 网：
   边上带有权的图称为带权图，也称为网。