差分约束初步

最新推荐文章于 2025-03-24 21:19:53 发布

bluewzl

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分类专栏：差分约束

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大家应该都会求最短路了吧。不会的去补补再来看。树形dp初步暂时不更了，留了两个大坑，而且还有几个知识点没说也留到下次再补。差分约束应该算是比较容易的内容，就已Poj上的Layout作为例题，网址在此：http://poj.org/problem?id=3169，戳Layout可传送！！！

翻译版本：

题目描述

n头牛编号为1到n（2<=n<=1000），按照编号的顺序排成一列，每两头牛的之间的距离 >= 0。这些牛的距离存在着一些约束关系：1.有ml组（u, v, w）的约束关系，表示牛[u]和牛[v]之间的距离必须 <= w。2.有md组（u, v, w）的约束关系，表示牛[u]和牛[v]之间的距离必须 >= w。问如果这n头无法排成队伍，则输出-1，如果牛[1]和牛[n]的距离可以无限远，则输出-2，否则则输出牛[1]和牛[n]之间的最大距离。

输入

第1行，3个整数，N，ML，MD

第2至ML+1行，3个整数，A, B, D,其中1 <= A < B <= N. 牛A，B距离最多为D (1 <= D <= 1,000,000)

第ML+2至ML+MD+1行，三个整数，A, B, D, 其中 1 <= A < B <= N. 牛A，B距离最少为D (1 <= D <= 1,000,000)

输出

一个整数

如果在上述条件下，奶牛站不成一排，则输出"-1"，如果能站成一排，但是第1头牛~

第N头牛的距离无限远，则输出"-2"，如果满足条件，并且第1头牛~第N头牛之间存在实际距离，则输出第1头牛~到第N头牛之间的能达到的最远距离。

样例输入

样例输出

zyy：裸题，裸题！！！

选它就是因为它是裸题，~~心情不好滚一边去~~差分约束为什么要用到最短路呢？

我们先看看样例：

先用一个数组记录第一头牛到第j头牛的距离。

通过样例可以知道：

d[3]-d[1]<=10

d[4]-d[2]<=20

d[3]-d[2]>=3

通过移项和一些处理后可以知道：

d[3]<=10+d[1]

d[4]<=20+d[2]

d[2]<=-3+d[3]

大家都知道求不等式解的范围。如果要求最大值，不等号右边的数就要最小的如：

x<=4

x<=2

解集就是：x<=2

所以最大值为2

所以这里要取最小的值

而求最短路径时也要用到一个不等式：

for(int i=p[u];~i;i=b[i].next) 
        if(dis[u]+b[i].w<dis[b[i].v]) 
        { 
            dis[b[i].v]=dis[u]+b[i].w; 
            if(!used[b[i].v]) 
            { 
                a.push(b[i].v); 
                used[b[i].v]=1; 
                uses[b[i].v]++; 
                if(uses[b[i].v]>=n) 
                { 
                    printf("-1\n"); 
                    return; 
                } 
            } 
        }

是不是很像，其实它们本质上是一致的，又因为求最大所以d[j]要最小，反之。

所以这道题就做出来了。

代码如下：

#include<cstdio> 
#include<cstring> 
#include<queue> 
#define MAXN 200000+10 
using namespace std; 
struct edge 
{ 
    int v,w,next; 
}; 
edge b[MAXN]; 
queue<int> a; 
bool used[10001]; 
int uses[10001],p[10001],dis[10001],n,x1,x2,num; 
int read() 
{ 
    char c=getchar(); 
    while(c<'0'||c>'9'){c=getchar();} 
    int x=0; 
    while(c>='0'&&c<='9'){ 
        x=x*10+c-'0'; 
        c=getchar(); 
    } 
    return x; 
} 
void init() 
{ 
    memset(uses,0,sizeof(uses)); 
    memset(p,-1,sizeof(p)); 
    for(int i=1;i<=n;i++) 
    dis[i]=0x7fffffff; 
    num=0; 
} 
void SPFA() 
{ 
    a.push(1); 
    used[1]=1; 
    uses[1]++; 
    dis[1]=0; 
    while(!a.empty()) 
    { 
        int u=a.front(); 
        for(int i=p[u];~i;i=b[i].next) 
        if(dis[u]+b[i].w<dis[b[i].v]) 
        { 
            dis[b[i].v]=dis[u]+b[i].w; 
            if(!used[b[i].v]) 
            { 
                a.push(b[i].v); 
                used[b[i].v]=1; 
                uses[b[i].v]++; 
                if(uses[b[i].v]>=n) 
                { 
                    printf("-1\n"); 
                    return; 
                } 
            } 
        } 
        a.pop(); 
        used[u]=0; 
    } 
    if(dis[n]==0x7fffffff)printf("-2\n"); 
    else printf("%d\n",dis[n]); 
} 
int main() 
{ 
    n=read(); 
    x1=read(); 
    x2=read(); 
    init(); 
    for(int i=1;i<=x1;i++) 
    { 
        int u,v,w; 
        u=read(),v=read(),w=read(); 
        b[++num].v=v; 
        b[num].w=w; 
        b[num].next=p[u]; 
        p[u]=num; 
    } 
    for(int i=1;i<=x2;i++) 
    { 
        int u,v,w; 
        u=read(),v=read(),w=read(); 
        b[++num].v=u; 
        b[num].w=-w; 
        b[num].next=p[v]; 
        p[v]=num; 
    } 
    SPFA(); 
    return 0; 
}

在 hdu上还有另一道与它类似，点击"hdu"传送。