用高斯消元解决一部分期望问题 学习笔记

最新推荐文章于 2022-03-15 22:55:48 发布
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分类专栏： 概率和期望 高斯消元 —————————数学 笔记
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本文链接：https://blog.youkuaiyun.com/BlackJack_/article/details/79268664
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本文探讨了如何利用高斯消元法解决动态规划中遇到的状态转移顺序混乱问题，尤其是在求解期望和概率时。通过将状态转移方程转化为线性方程组，再借助高斯消元法求解，有效地处理了相互依赖的状态。

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用高斯消元解决一部分期望问题 学习笔记


这个东西想搞好久了 今天看了下 就写个学习笔记吧.


dp序

dp序是dp的所有状态的一个排列，使状态x所需的所有前置状态都位于状态x前

dp序不唯一 比如 DAG、子树转移....


高斯消元解决dp序混乱的期望/概率问题

为什么可以乱序？

乱序即指u,v两个状态可以互相转移

普通的dp一般是不会出现这样的情况的

不过有这种情况的大多是求最值 也是可以跑spfa的

那么涉及期望/概率这样的问题想法则不同

两个状态互相转移 增量会不断减小 趋近无穷小的时候就认为值时确定的

显然疯狂迭代是一种方式 但是我们当然是是考虑要讲解的方法 高斯消元

本质上.

就是把所有的转移都移项到同一侧

之后就愉快的发现变成了n元一次方程组

高斯消元一顿解就行了


栗题

[Hnoi2013]游走

[HNOI2011]XOR和路径 （请使用ctrl+F）

概率（高斯消元）+期望入门总结（真的只是入门！！！！）
mumei的博客
08-16 615
昨天做了学长拉的概率dp+期望的专题，也算是真正入了点门，大致看到这种题也有了一些思路，今天来做个总结。 其实这都是高中和初中的知识，可怪我以前就对概率的题很反感（QAQ），所以现在学的时候才觉得好难。 先说说期望吧，期望还是比较好理解的，做期望题的难点在于找到方程，解方程，也可以直接逆序求期望（也能顺序，看边界条件，具体问题具体分析）。关于这类题型主要还在于找状态转移方程，这要是dp的难点，...
关于高斯消元求期望的个人理解
Enmity_Dark
07-29 1406
看了一天的高斯消元求期望。 但是貌似因为自己的概率论学的很差，所以总结了一套自己独特的
[BZOJ1778] 期望+高斯消元
Shelter
01-22 351
[BZOJ1778] 题意 给你一张nnn个点mmm条边的无向图,最开始有一颗炸弹在一号节点,它有pq\frac{p}{q}qp​​的概率爆炸,如果没有爆炸,它会等概率的移动到另一个与当前节点相连的点,问炸弹分别在每个点爆炸的概率。 思路 考虑一维的向量矩阵AAA,第iii位表示炸弹停在iii点的概率是AiA_{i}Ai​，那么初始时炸弹停在111号节点A=(1,0,0,...,0,0)A=(1,...
hdu 4870 Rating(高斯消元求期望)
07-23 1866
http://acm.hdu.edu.cn/showproblem.php?pid=4870 题意：有两个号，初始分数都是0，每次选一个分数较小的打比赛，如果分数一样任选一个，有p的概率涨50分，最高为1000分，有1-p的概率跌100分，最低为0分。问有一个号涨到1000需要打比赛的次数的期望。 令(x, y)表示高分为x，低分为y的状态（x >= y），E(x, y)表示从
BZOJ 3143 浅谈高斯消元解复数组期望方程
BerryKanry的博客
09-12 500
世界真的很大 许多工具都是可以结合起来用的 由期望递推的条件渐渐地可以推导出一些结论 当这些结论进入你所掌握的任何一种算法的解决范畴内，问题就是可解的了看题先：description一个无向连通图，顶点从1编号到N，边从1编号到M。 小Z在该图上进行随机游走，初始时小Z在1号顶点，每一步小Z以相等的概率随机选 择当前顶点的某条边，沿着这条边走到下一个顶点，获得等于这条边的编号的分数。当小Z
概率与期望学习笔记
shroud777的博客
03-15 599
文章目录介绍讲解例题例1：P4316 - 绿豆蛙的归宿例2：CF518D - Ilya and Escalator 介绍 主要讲解几种固定的 期望/概率DP 方法 讲解 例题 例1：P4316 - 绿豆蛙的归宿 题目描述： 给出张 nnn 个点 mmm 条边的有向无环图，起点为 111，终点为 nnn，每条边都有一个长度。到达每一个顶点时，如果有 kkk 条离开该点的道路，可以选择任意一条道路离开该点，并且走向每条路的概率为 1k\frac 1 kk1​​​。 求从 111 出发走到 nnn 的路径期望总
SLAM的一些学习笔记
zhengbq_seu的博客
06-05 3977
目录 一．基础概念 1）关于Hx=g方程中 没有位姿与位姿的约束 H为什么是J的转置乘以J 2)关于雅克比矩阵： 2.1）所谓增量方程系数的路标部分为什么是对角阵 3）所谓边缘化 4）邻接矩阵(Adjacency Matrix) 5）关于非线性优化定位和稠密建图的深度滤波器 6）上采样和下采样 7）专有名词 二．各个开源代码 2.1 dso 前后端 滑动窗口 边缘...
快速傅里叶变换（FFT）学习笔记（未完待续）
蒟蒻QMQ
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总所周知，FFT是一个非常麻烦的算法，再加上博主语文不好，便写起来有点麻烦，但会尽力去写。要以后自己看不懂就。。。 注：因为最近的压力紧张，便没有继续学习FFT，这仅为目前的半成品以及一些目前已知的优化。 目录参考资料FFT吹水例题普通做法更高大尚的做法定义与一部分性质系数表达式点值表达式性质1点值相乘？？？卷积复数DFT 参考资料 讲解1 讲解2 优化 毛啸大佬的论文（不放上下载地址，因为下载论...
机器人感知：因子图在SLAM中的应用(读书笔记)第一至三章
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机器人感知：因子图在SLAM中的应用 第一章：引言 1.首先提出来机器人中的推断问题，SLAM问题是根据先验信息(包括之前时刻的位姿以及已知路标点信息)以及传感器测得信息(测到的路标点信息)这两个进行推断，推断出该时刻的位姿以及未知的路标点位置的问题。 2.在SLAM问题中，我们把观测量的集合设为Z，把未知变量(包括机器人的位姿和未知的路标点位置)用X表示，此时为了得到p(X|Z)这个条件概率密...
0x55. 动态规划 - 环形与后效性处理（例题详解 × 6）
繁凡さん的博客
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目录0x55.1 环形结构上的动态规划问题两次DP法破环成链法0x55.2 有后效性的状态转移方程 本系列博客是《算法竞赛进阶指南》的学习笔记，包含书中的部分重要知识点、例题解题报告及我个人的学习心得和对该算法的补充拓展，仅用于学习交流和复习，无任何商业用途。博客中部分内容来源于书本和网络 ，由我个人整理总结。部分内容由我个人编写而成，如果想要有更好的学习体验或者希望学习到更全面的知识，请于京东搜索购买正版图书：《算法竞赛进阶指南》——作者李煜东，强烈安利，好书不火系列，谢谢配合。 % 学习笔记目录链接：
[ACM] hdu 2262 Where is the canteen (高斯消元求期望）
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Where is the canteen Problem Description After a long drastic struggle with himself, LL decide to go for some snack at last. But when steping out of the dormitory, he found a serious problem
高斯消元与期望DP
weixin_30516243的博客
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高斯消元可以解决一系列DP序混乱的无向图上（期望）DP DP序 DP序是一道DP的所有状态的一个排列，使状态x所需的所有前置状态都位于状态x前； （通俗的说，在一个状态转移方程中‘=’左侧的状态应该在‘=’右侧的所有状态之后） 于是往往只有按DP序转移状态，才可以保证每个状态值的正确性 一道DP的状态序不是唯一的 常见的有： 某些DAG上dp按拓扑序转移； 某些树上DP先...
概率期望中高斯消元的几种用法
Locke的博客
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前置知识：高斯消元法 博主理解浅显，只能膜piao别人的总结 https://blog.youkuaiyun.com/u011815404/article/details/88890702 咳咳……还是简单介绍两句 它可以用 O(n3)O(n^3)O(n3) 的复杂度解出 n 元方程组 表示方法：矩阵 tips：一般情况下高斯消元可能出现无解、无穷解的情况，我的做法里面没有判断，由于矩阵对角线上不会出现0。 ...
sdut2878——Circle(高斯消元求期望)
我在浪里
04-20 308
Circle Time Limit: 2000ms   Memory limit: 65536K  有疑问？点这里^_^ 题目描述 You have been given a circle from 0 to n - 1. If you are currently at x, you will move to (x - 1) mod n or (x + 1) mod
[ACM] hdu 4418 Time travel (高斯消元求期望)
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08-31 2698
Time travel Problem Description Agent K is one of the greatest agents in a secret organization called Men in Black. Once he needs to finish a mission by traveling through time with the
P3232 [HNOI2013] 数学期望 + 高斯消元
neweryyy的博客
09-24 143
题意 传送门 P3232 [HNOI2013]游走 题解 设 XiX_iXi​ 为 i→Ni\rightarrow Ni→N 的期望分数。考虑一步转移状态可以列出 NNN 个 NNN 元一次方程。若能通过高斯消元将 X1X_1X1​ 用边编号的线性组合表示，那么就能够基于贪心策略，将编号的系数排序，较小的编号对应较大的系数，从而得到答案。总时间复杂度 O(N4)O(N^4)O(N4)，显然难以胜任。 上述系数即对应边被经过次数的数学期望。那么可以如下定义，XiX_iXi​ 代表节点 iii 被经过次数的数学
【期望·高斯消元】HNOI2013 游走
岂曰无衣，与子同袍
02-09 259
题目传送门 容易想到，应该是算出经过每一条边的期望，然后给期望大的赋小的编号，期望小的赋大的编号。 没有其它奇奇怪怪的附加属性，只是随意地走的话，经过边的期望应该只是和图的长相有关联，也就是只和边两边的结点有关，而且边的数量没有限制，最大可以达到n2n^2n2的级别，所以我们可以用点的期望来算边的期望。 如果知道了点的期望，那么边的期望就是 点的期望∗1这个点的边数点的期望*\frac{1}{这个...
【BZOJ3143】游走（高斯消元，数学期望）
小蒟蒻yyb的博客
02-02 365
题面BZOJ题解首先，概率不会直接算。。。 所以来一个逼近法算概率 这样就可以求出每一条边的概率 随着走的步数的增多，答案越接近 （我卡到50005000步可以拿5050分）#include<iostream> #include<cstdio> #include<cstdlib> #include<cstring> #include<cmath> #include<algorithm> #i
高斯消元入门⑥-配合求解概率/期望dp-HDU4870
qq_35577488的博客
01-02 567
前言: 对于期望dp/概率dp，我们有状态以及状态转移方程.我们将所有的状态看成未知数，状态转移方程看成线性方程。那么就得到了一个线性方程组. 适用情形: 状态转移有后效性时 优化点: 大多数情况下它会是一个稀疏矩阵(因为一个转移方程所牵涉到的状态比较少).所以在 消元的时候，遇到0元素就continue. 这个trick可以将复杂度从三次方优化到近似二次方.(前提是要是一个稀疏矩阵.) 题目一:HDU4780 题目大意: 你有两个数A,BA,BA,B。 每次你会选择min(A,B)min(A,B)min(
算法竞赛数学基础
最新发布
04-02
<think>好的，我现在需要帮助用户了解算法竞赛中常用的数学基础概念和公式。用户提到参考了三个引用内容，我需要结合这些资料来整理答案。 首先，引用[1]提到《算法竞赛入门经典》的补充内容，包括数学基础章节，涉及数论、组合数学等。引用[3]的笔记提到了位运算、快速幂、状态压缩等内容。这些应该是数学基础中的重要部分。 接下来，我需要确定算法竞赛中常见的数学知识点。根据我的知识，数论、组合数学、概率与统计、线性代数、几何以及位运算相关的数学都是常见的。需要每个部分列出关键概念和公式。 数论方面，质数判断、欧几里得算法、模运算、欧拉定理、中国剩余定理都是基础。组合数学包括排列组合、容斥原理、生成函数。概率与统计可能需要期望和方差的计算。线性代数中的矩阵快速幂用于加速递推，高斯消元解方程组。几何部分涉及点线面的计算，凸包算法。位运算相关的快速幂、状态压缩技巧也很重要。 然后，要确保所有数学表达式使用正确的LaTeX格式，行内用$...$，独立公式用$$...$$。例如，质数判断的试除法条件写成$2 \leq d \leq \sqrt{n}$，欧几里得算法写成$\gcd(a,b) = \gcd(b, a\bmod b)$。 还要生成相关问题，参考示例中的结构，可能的问题包括数论应用、组合数学优化方法、矩阵快速幂的应用等。需要确保问题与内容相关，并引导深入学习。 最后，检查引用标注是否正确，每个引用在回答中适当的位置标注，例如质数判断部分引用[1]，位运算部分引用[3]。同时，保持回答结构清晰，分点列出，便于用户理解。</think>### 算法竞赛中的数学基础概念与公式 算法竞赛中的数学知识是解题的核心工具之一，尤其在优化算法、推导公式、处理复杂逻辑时尤为重要。以下是常见的数学基础概念和公式分类整理： --- #### 1. **数论基础** - **质数与筛法** 判断质数的试除法条件：$2 \leq d \leq \sqrt{n}$ 埃拉托斯特尼筛法时间复杂度：$O(n \log \log n)$ 欧拉筛法（线性筛）时间复杂度：$O(n)$[^1] - **最大公约数（GCD）与扩展欧几里得算法** 欧几里得算法：$\gcd(a,b) = \gcd(b, a \bmod b)$ 贝祖定理：$ax + by = \gcd(a,b)$ 有整数解 - **模运算与同余方程** 快速幂公式：$a^b \bmod p = (a^{b/2} \cdot a^{b/2}) \bmod p$（递归分治） 欧拉定理：若 $\gcd(a,m)=1$，则$a^{\phi(m)} \equiv 1 \pmod{m}$，其中$\phi(m)$为欧拉函数 - **中国剩余定理（CRT）** 求解同余方程组： $$x \equiv a_1 \pmod{m_1}, \quad x \equiv a_2 \pmod{m_2}, \quad \cdots$$ 当$m_i$两两互质时，存在唯一解 --- #### 2. **组合数学** - **排列与组合公式** 组合数公式：$C(n,k) = \frac{n!}{k!(n-k)!}$ 递推关系：$C(n,k) = C(n-1,k) + C(n-1,k-1)$ 卢卡斯定理（大组合数取模）：$C(n,k) \equiv \prod C(n_i,k_i) \pmod{p}$（$n_i,k_i$为$n,k$的$p$进制分解） - **容斥原理** 计算并集大小： $$|A_1 \cup A_2 \cup \cdots \cup A_n| = \sum |A_i| - \sum |A_i \cap A_j| + \cdots + (-1)^{n+1}|A_1 \cap \cdots \cap A_n|$$ - **生成函数** 普通生成函数（OGF）：$G(x) = \sum a_n x^n$ 指数生成函数（EGF）：$G(x) = \sum \frac{a_n}{n!} x^n$ --- #### 3. **概率与期望** - **期望线性性** $E[X+Y] = E[X] + E[Y]$（即使$X$和$Y$不独立） 常见应用：几何分布期望（成功概率$p$，期望试验次数$\frac{1}{p}$） --- #### 4. **线性代数** - **矩阵快速幂** 用于加速递推关系（如斐波那契数列）： $$F(n) = F(n-1) + F(n-2) \Rightarrow \begin{pmatrix} F(n) \\ F(n-1) \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix}^{n-1} \begin{pmatrix} F(1) \\ F(0) \end{pmatrix}$$ 时间复杂度优化为$O(\log n)$[^3] - **高斯消元** 解线性方程组，时间复杂度$O(n^3)$，常用于概率问题或几何问题 --- #### 5. **几何基础** - **向量运算** 点积：$\mathbf{a} \cdot \mathbf{b} = |\mathbf{a}||\mathbf{b}|\cos\theta$ 叉积：$\mathbf{a} \times \mathbf{b} = |\mathbf{a}||\mathbf{b}|\sin\theta$（用于判断方向） 凸包算法（Graham扫描法）时间复杂度：$O(n \log n)$ --- #### 6. **位运算与状态压缩** - **快速幂与二进制拆分** 利用二进制分解指数：$a^b = a^{2^{k_1}} \cdot a^{2^{k_2}} \cdot \cdots$ 例如：$3^{13} = 3^8 \cdot 3^4 \cdot 3^1$（13的二进制为1101） - **状态压缩DP** 用二进制位表示状态，例如最短哈密顿路径问题： 状态定义：$dp[mask][i]$表示经过点集$mask$且终点为$i$的最短路径[^3] ---
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