「SDOI 2015」约数个数和「莫比乌斯反演」

最新推荐文章于 2022-02-26 16:04:00 发布

_Gion

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分类专栏：数学 - 莫比乌斯反演数学 - 数论分块

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本文探讨了数论中约数个数的计算问题，通过引入莫比乌斯反演，提出了一种高效的算法解决方案。文章详细介绍了算法的推导过程，并提供了具体的代码实现。

摘要生成于 C知道，由 DeepSeek-R1 满血版支持，前往体验 >

题意

设 $d (x)$ 为 $x$ 的约数个数，求 $∑i=1n∑j=1md(ij)\sum_{i=1}^{n}\sum_{j=1}^{m}d(ij)$ 。

题解

首先有个公式： $d(ij)=∑x∣i∑y∣j[gcd(x,y)=1]d(ij)=\sum_{x|i}\sum_{y|j}[gcd(x,y)=1]$

证明大致如下：

先考虑这种情况： $i=p^a$ , $j=p^b$ ：

乘积 $i j$ 的约数个数为 $a + b + 1$ 个

而 $∑x∣i∑y∣j[gcd(x,y)=1]\sum_{x|i}\sum_{y|j}[gcd(x,y)=1]$ 也为 $a + b + 1$ ，因为方案为让 $i$ 取 $0$ ， $j$ 取 $[0, b]$ ，或 $i$ 取 $[0, a]$ ， $j$ 取 $0$ .

然后考虑把每一位合起来，也是一个道理， $i$ 的次数分别取 $\;\text{or}\;[0,a_i]$ , $j$ 的次数分别取 $\;\text{or}\;[0,b_i]$

然后开始推导本题解法：

$∑i=1n∑j=1m∑x∣i∑y∣j[gcd(x,y)=1]\sum_{i=1}^{n}\sum_{j=1}^{m}\sum_{x|i}\sum_{y|j}[gcd(x,y)=1]$

先枚举因数：

$∑x=1n∑y=1m⌊mx⌋⌊ny⌋[gcd(x,y)=1]\sum_{x=1}^n\sum_{y=1}^m\lfloor\frac{m}{x}\rfloor\lfloor\frac{n}{y}\rfloor[gcd(x,y)=1]$

令 $f(u)=∑x=1n∑y=1m⌊mx⌋⌊ny⌋[gcd(x,y)=u]f(u)=\sum_{x=1}^n\sum_{y=1}^m\lfloor\frac{m}{x}\rfloor\lfloor\frac{n}{y}\rfloor[gcd(x,y)=u]$

因此令：

$g(u)=∑u∣df(d)=∑x=1n∑y=1m⌊mx⌋⌊ny⌋[u∣gcd(x,y)]g(u)=\sum_{u|d}f(d)=\sum_{x=1}^n\sum_{y=1}^m\lfloor\frac{m}{x}\rfloor\lfloor\frac{n}{y}\rfloor[u|gcd(x,y)]$

把 $u$ 提出来：

$g(u)=∑u∣df(d)=∑x=1⌊nu⌋∑y=1⌊mu⌋⌊mxu⌋⌊nyu⌋g(u)=\sum_{u|d}f(d)=\sum_{x=1}^{\lfloor\frac{n}{u}\rfloor}\sum_{y=1}^{\lfloor\frac{m}{u}\rfloor}\lfloor\frac{m}{xu}\rfloor\lfloor\frac{n}{yu}\rfloor$

令 $sum(n)=∑i=1n⌊ni⌋sum(n)=\sum_{i=1}^n \lfloor\frac{n}{i}\rfloor$ ，则上式：

$g(u)=sum(⌊nu⌋)sum(⌊mu⌋)g(u)=sum(\lfloor\frac{n}{u}\rfloor)sum(\lfloor\frac{m}{u}\rfloor)$

然后莫比乌斯反演：

因为 $g(u)=∑u∣df(d)g(u)=\sum_{u|d}f(d)$

所以 $f(u)=∑u∣dμ(du)g(d)f(u)=\sum_{u|d}\mu(\frac{d}{u})g(d)$

$f(u)=∑u∣dμ(du)g(d)f(u)=\sum_{u|d}\mu(\frac{d}{u})g(d)$

所以 $f(1)=∑d=1nμ(d)g(d)f(1)=\sum_{d=1}^n\mu(d)g(d)$

$f(1)=∑d=1nμ(d)sum(⌊nd⌋)sum(⌊md⌋)f(1)=\sum_{d=1}^n\mu(d)sum(\lfloor\frac{n}{d}\rfloor)sum(\lfloor\frac{m}{d}\rfloor)$

于是 $O(nn)O(n\sqrt n)$ 预处理 $s u m$ ，查询 $O(n)O(\sqrt n)$ 。

#include <cstdio>
#include <ios>

typedef long long LL;

const int N = 5e4 + 10;

LL sum[N], mu[N], mus[N];
int pr[N], tot;
bool tag[N];

LL calc1(int n) {
	LL ans = 0;
	for(int i = 1, j; i <= n; i = j + 1) {
		j = n / (n / i);
		ans += n / i * 1ll * (j - i + 1);
	}
	return ans;
}

void init(int n) {
	for(int i = 1; i <= n; i ++) sum[i] = calc1(i);
	mu[1] = mus[1] = tag[1] = 1;
	for(int i = 2; i <= n; i ++) {
		if(!tag[i]) {
			pr[++ tot] = i;
			mu[i] = -1;
		}
		for(int j = 1; j <= tot && i * pr[j] <= n; j ++) {
			tag[i * pr[j]] = 1;
			if(i % pr[j] == 0) {
				mu[i * pr[j]] = 0;
				break ;
			}
			mu[i * pr[j]] = - mu[i];
		} 
		mus[i] = mus[i - 1] + mu[i];
	}
}

LL calc2(int n, int m) {
	LL ans = 0;
	for(int i = 1, j; i <= n; i = j + 1) {
		j = std :: min(n / (n / i), m / (m / i));
		ans += (mus[j] - mus[i - 1]) * sum[n / i] * sum[m / i];
	}
	return ans;
}

int main() {
	init(50000);
	int t, n, m;
	for(scanf("%d", &t); t --; ) {
		scanf("%d%d", &n, &m);
		if(n > m) n ^= m ^= n ^= m;
		printf("%lld\n", calc2(n, m));
	} 
	return 0;
}