「ZJOI 2005」午餐「DP」

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动态规划

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本文深入探讨了一种结合贪心策略与动态规划(DP)的算法，通过具体实例讲解了如何确定最优打饭顺序，以最小化所有人完成打饭和吃饭的总时间。文章详细分析了贪心策略的有效性，并设计了DP状态转移方程，最终实现了一个高效求解的算法。

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题解

贪心+ $\text{DP}$ ，思想巧妙。

首先确定先后顺序，不确定站在哪边。贪心策略是按吃饭时间从大到小排序，证明如下：

设按某个顺序站，第 $A$ 个人打饭时间为 $a$ ，吃饭时间为 $b$ ；第 $B (A < B)$ 人打饭时间为 $c$ ，吃饭时间为 $d$ ； $b < d$

$t_1=max(a+b, a+c+d) = a + max(b, c+d) = a + c + d$

$t_2=max(c+d, a+b+c) = c + max(b+a, 0+d) = a+b+c$ 或 $c + d$

$t_1>t_2$

得证。

然后设计 $d p$ 状态。用 $f [i] [j]$ 表示前 $i$ 个人， $1$ 队打饭总时间为 $j$ ，最早吃完的时刻。

使用前缀和， $s u m [i] - j$ 就是 $2$ 队打饭总时间，这样避免状态的冗余设计。

//Luogu P2577
#include <algorithm>
#include <cstring>
#include <cstdio>
using namespace std;

const int N = 201;

struct Node {
	int a, b;
	bool operator < (const Node & n2) const { return b > n2.b; }
} p[N];
int n, sum[N], f[N][N * N];
//f[i][j]:前i个人，打饭总时间j，最早吃完时刻 
void upd(int & x, const int & y) {x > y ? x = y : 0;}

int main() {
	scanf("%d", &n);
	for(int i = 1; i <= n; i ++)
		scanf("%d%d", &p[i].a, &p[i].b);
	sort(p + 1, p + n + 1);
	for(int i = 1; i <= n; i ++)
		sum[i] = sum[i - 1] + p[i].a;
	
	for(int i = 0; i <= n; i ++)
		fill(f[i], f[i] + sum[n] + 1, (1LL << 31) - 1LL);
	
	f[0][0] = 0;
	for(int i = 1; i <= n; i ++) {
		for(int j = 1; j <= sum[i]; j ++) {
			if(j >= p[i].a) upd(f[i][j], max(f[i - 1][j - p[i].a], j + p[i].b));
			upd(f[i][j], max(f[i - 1][j], (sum[i] - j) + p[i].b));
		}
	}
	int ans = (1LL << 31) - 1LL;
	for(int i = 1; i <= sum[n]; i ++) 
		upd(ans, f[n][i]);
	printf("%d\n", ans);
	return 0;
}