[DP] Luogu1044 栈

题目背景

栈是计算机中经典的数据结构，简单的说，栈就是限制在一端进行插入删除操作的线性表。

栈有两种最重要的操作，即pop（从栈顶弹出一个元素）和push（将一个元素进栈）。

栈的重要性不言自明，任何一门数据结构的课程都会介绍栈。宁宁同学在复习栈的基本概念时，想到了一个书上没有讲过的问题，而他自己无法给出答案，所以需要你的帮忙。

题目描述

宁宁考虑的是这样一个问题：一个操作数序列，从1，2，一直到n（图示为1到3的情况），栈A的深度大于n。

现在可以进行两种操作，

1.将一个数，从操作数序列的头端移到栈的头端（对应数据结构栈的push操作）

2. 将一个数，从栈的头端移到输出序列的尾端（对应数据结构栈的pop操作）

使用这两种操作，由一个操作数序列就可以得到一系列的输出序列，下图所示为由1 2 3生成序列2 3 1的过程。

（原始状态如上图所示）

你的程序将对给定的n，计算并输出由操作数序列1，2，…，n经过操作可能得到的输出序列的总数。

输入输出格式

输入格式：

输入文件只含一个整数n（1≤n≤18）

输出格式：

输出文件只有一行，即可能输出序列的总数目

输入输出样例

输入样例： 

3

输出样例： 

5

【解法】DP(也是卡特兰数的求法)

用f[i]表示i个数的出栈序列数

枚举k(k=1~i)表示当前k要进栈.

方法总数就是进过栈的k-1个数的出栈序列数 * 剩下等待进栈的i-k个数的出栈序列数(乘法原理)

f[i] += f[k-1] * f[i-k]

边界：f[0] = 1;

#include <iostream>
using namespace std;

int f[20], n;

int main() {
	cin >> n;
	f[0] = 1;
	for(int i=1; i<=n; i++)
		for(int k=1; k<=i; k++)
			f[i] += f[k-1] * f[i-k];
	cout << f[n] << endl;
	return 0;
}