[DP] Luogu1754 球迷购票问题

题目背景

盛况空前的足球赛即将举行。球赛门票售票处排起了球迷购票长龙。

按售票处规定，每位购票者限购一张门票，且每张票售价为50元。在排成长龙的球迷中有N个人手持面值50元的钱币，另有N个人手持面值100元的钱币。假设售票处在开始售票时没有零钱。试问这2N个球迷有多少种排队方式可使售票处不致出现找不出钱的尴尬局面。

题目描述

例如当n=2是，用A表示手持50元面值的球迷，用B表示手持100元钱的球迷。则最多可以得到以下两组不同的排队方式，使售票员不至于找不出钱。

第一种:A A B B

第二种:A B A B

[编程任务]

对于给定的n (0≤n≤20),计算2N个球迷有多少种排队方式，可以使售票处不至于找不出钱。

输入输出格式

输入格式：

一个整数，代表N的值

输出格式：

一个整数，表示方案数

输入输出样例

输入样例： 

2

输出样例#1： 

2

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【大意】门票50，有2*N个球迷，N个拿100元，N个拿50元，求站队的方法总数

【思路】这题用DP，当然还能用组合数学.

用f[i][j]表示前i个人买了票，售票处手中还有j张50的方法总数。(有多少张100是没用的状态)

分类：

(1) 第i个人手里是50，前i-1人手里应该有j-1张50的，交给售票处一张50  f[i][j] += f[i-1][j-1]

(2) 第i个人手里是100，前i-1人手里应该有j+1张50，售票处找给第i个人一张50  f[i][j] += f[i-1][j+1]

边界是f[0][0] = 1,解为f[n+n][0] (2n个人买完票就没有50的了)

#include <iostream>
using namespace std;

int n;
long long f[3001][3001]; //到第i人过后 手里收集了j张50 

int main() {
	cin >> n;
	f[0][0] = 1;
	for(int i=1; i<=n+n; i++) //i人
		for(int j=0; j<=n && j<=i; j++) { //j个50
			if(j >= 1) f[i][j] = f[i-1][j-1] + f[i-1][j+1];
			else f[i][j] = f[i-1][j+1];
		}
	cout << f[n+n][0] << endl;	
	return 0;
}