数论-最大公约数和最小公倍数

简谈最大公约数和最小公倍数

a,b的最大公约数用gcd(a, b)表示

a,b的最小公倍数用lcm(a, b)表示

最大公约数

辗转相除法(Euclid algorithm)求最大公约数

原理是：gcd(a, b) = gcd(a, b-a)

证明：

设 z|a, z|b, 则z|(b-a)

设 z不是a的因子，则z不伤a， b-a的公因子

设 z|a，z不是b的因子，则z不是a，b-a的公因子

递归求，边界是：b == 0 时 gcd(a, b) = a;

int gcd(int a, int b) {
	return b == 0 ? a : gcd(b, a%b);
}

二进制算法

if x == y ,GCD(x, y) = x;

else :

if x,y都为偶数，GCD(x, y) = 2 * GCD(x/2, y/2);

if x为偶数，y为奇数，GCD(x, y) = GCD(x/2, y);

if x为奇数，y为偶数，GCD(x, y) = GCD(x, y/2);

if x,y都为奇数，GCD(x, y) = GCD(x-y, y);

#include <iostream>
using namespace std;

inline int Bianary_gcd(int x, int y) {
	if(x == 0) return y;
	if(y == 0) return x;
	int i, j; //记录剔除2的次数
	for(i = 0; (x&1) == 0; i ++) x >>= 1; //x剔除2
	for(j = 0; (y&1) == 0; j ++) y >>= 1; //y剔除2
	while(true) {
		if(x < y) x^=y, y^=x, x^=y; //交换
		if((x -= y) == 0) return y << min(i, j); //x y 相等 
		while((x&1) == 0) x >>= 1; //剔除2 
	}
} 

int main() {
	int a, b;
	cin >> a >> b;
	cout << Bianary_gcd(a, b) << endl;
	return 0;
}

最小公倍数

lcm(a, b) = a * b / gcd(a, b);

注意：a*b可能溢出，编程计算时应写成：lcm(a,b) = a / gcd(a, b) * b;