[欧拉计划]Problem 2.Even Fibonacci numbers

寻找斐波那契数列中不超过四百万的偶数之和

最新推荐文章于 2020-12-19 11:55:07 发布

原创最新推荐文章于 2020-12-19 11:55:07 发布 · 530 阅读

0 ·

CC 4.0 BY-SA版权

文章标签：

#fibnacci #数列 #欧拉计划

本文探讨了如何高效地计算斐波那契数列中所有不超过四百万的偶数值之和。通过数学证明和优化算法，展示了如何避免遍历整个数列来提高计算效率。

Each new term in the Fibonacci sequence is generated by adding the previous two terms. By starting with 1 and 2, the first 10 terms will be:

1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, …

By considering the terms in the Fibonacci sequence whose values do not exceed four million, find the sum of the even-valued terms.

首先最容易想到的方法:

int limit = 4000000, sum = 0, a = 1, b = 1;
while(b < limit)
{
  if(b % 2 == 0)
    sum += b;
  int h = a + b;
  a = b;
  b = h;
}
cout << sum << endl;

这样做一定是把4000000以内的fibnacci数列遍历了一遍,那么有没有效率更高的算法呢?

我们先写出一段fibnacci数列:

F	1	1	2	3	5	8	13	21	34	55	89	144
	a	b	c	a	b	c	a	b	c	a	b	c
			*			*			*			*

不难证明每3项都是偶数,因此程序也可以写成这样:

int limit = 4000000, sum = 0, a = 1, b = 1, c = a + b;
while(c < limit)
{
  sum += c;
  a = b + c;
  b = c + a;
  c = a + b;
}
cout << sum << endl;

但是效率并没有提高,依然是将数列遍历了一遍.

我们把偶数项单独写出来,会发现一个优美的结构

2,8,34,144…

好像存在这种关系:

E (n) = 4 \cdot E (n - 1) + E (n - 2)

$E(n) = 4 \cdot E(n-1) + E(n-2)$
如果我们能证明:

F (n) = 4 \cdot F (n - 3) + F (n - 6)

$F(n) = 4 \cdot F(n-3) + F(n-6)$
便也就证明了上式.

证明如下:

$F(n)$
$= F(n-1) + F(n-2)$
$= F(n-2) + F(n-3) + F(n-2)$
$= 2F(n-2) + F(n-3)$
$= 2(F(n-3) + F(n-4)) + F(n-3)$
$= 3F(n-3) + 2F(n-4)$
$= 3F(n-3) + F(n-4) + F(n-5) + F(n-6)$
$= 4F(n-3) + F(n-6)$