005.宋浩老师《线性代数》笔记（第四章线性方程组）

宋浩老师《线性代数》笔记（第四章线性方程组）

目录

4.1 线性方程组

4.2 有解的判定

4.3 齐次方程组的解

4.4 线性方程组解的结构

        齐次线性方程组解的结构

        非齐次线性方程组解的结构

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4.1 线性方程组

        线性方程组：各个方程关于未知量均为一次的方程组。

        非线性方程：因变量与自变量之间的关系不是线性的关系。这类方程很多，例如平方关系、对数关系、指数关系、 三角函数关系等等。

4.2 有解的判定

系数矩阵和增广矩阵

唯一解：系数矩阵的秩==增广矩阵的秩==未知数个数

无穷个解：系数矩阵的秩==增广矩阵的秩<未知数个数

无解：系数矩阵的秩！=增广矩阵的秩

解题思路

例题1（无穷解）

 4.3 齐次方程组的解

        常数项为0的线性方程组被称为齐次方程组

 4.4 线性方程组解的结构

        齐次线性方程组解的结构

         找基础解系 

         求齐次线性方程组的通解 

 解齐次方程组的套路：

（1）只取系数矩阵，只做初等行变换，化成行简化阶梯型

（2）找出自由未知量，让自由未知量都取1000，0100........

（3）带回去求出每个x的值，这就是基础解系。

（4）表示成c1n1+c2n2+c3n3....这就是通解

        非齐次线性方程组解的结构

性质：

 解的结构：

解非齐次方程组的套路：

（1）写出增广矩阵，只做初等行变换，化成行简化阶梯型

（2）非零行的首非零元的1，留在左边，其余挪到右边，找出自由未知量。

（3）自由变量均取0，得到AX=b的特解

（4） 让除常数项为0 ，让自由未知量都取1000，0100........，带回去求出每个x的值，这就是基础解系

（5）通解（非齐次解的结构）=特解（自由变量都为0）+（基础解系乘以系数）（齐次解的通解）

例题1：巧妙呀！！  

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