pytorch学习3（线性代数部分）

   声明：该文章为学习实验老师给的笔记

1. 标量

 我们采用了数学表示法，其中标量变量由普通小写字母表示（例如，𝑥、𝑦和𝑧）。

import torch

#标量由只有一个元素的张量表示

x = torch.tensor(3.0)

y = torch.tensor(2.0)

x + y, x * y, x / y, x**y

#输出
#(tensor(5.), tensor(6.), tensor(1.5000), tensor(9.))

2. 向量

[标量值组成的列表]。 向量记为粗体、小写的符号 （例如，𝐱、𝐲和𝐳)）。

我们通过一维张量处理向量。一般来说，张量可以具有任意长度，取决于机器的内存限制。

x = torch.arange(4)

x

#输出
#tensor([0, 1, 2, 3])

我们可以使用下标来引用向量的任一元素。 例如，我们可以通过𝑥𝑖来引用第𝑖个元素。 注意，元素𝑥𝑖是一个标量，所以我们在引用它时不会加粗。 大量文献认为列向量是向量的默认方向，在本书中也是如此。 在数学中，向量𝐱可以写为：

x[3]
#输出
#tensor(3)

len(x)  #访问张量的长度
x.shape #张量沿每个轴的长度（维数）
#输出
#torch.Size([4])

3. 矩阵

正如向量将标量从零阶推广到一阶，矩阵将向量从一阶推广到二阶。 矩阵，我们通常用粗体、大写字母来表示 （例如，𝐗、𝐘和𝐙）， 在代码中表示为具有两个轴的张量。

在数学表示法中，我们使用𝐀∈ℝ𝑚×𝑛来表示矩阵𝐀，其由𝑚行和𝑛列的实值标量组成。 我们可以将任意矩阵𝐀∈ℝ𝑚×𝑛视为一个表格， 其中每个元素𝑎𝑖𝑗属于第𝑖行第𝑗列：

对于任意𝐀∈ℝ𝑚×𝑛， 𝐀的形状是（𝑚,𝑛）或𝑚×𝑛。 当矩阵具有相同数量的行和列时，其形状将变为正方形； 因此，它被称为方阵（square matrix）。

当调用函数来实例化张量时， 我们可以[通过指定两个分量𝑚和𝑛来创建一个形状为𝑚×𝑛的矩阵]。

A = torch.arange(20).reshape(5, 4)
A
#输出
#tensor([[ 0,  1,  2,  3],
#       [ 4,  5,  6,  7],
#       [ 8,  9, 10, 11],
#       [12, 13, 14, 15],
#       [16, 17, 18, 19]])

我们可以通过行索引（𝑖）和列索引（𝑗）来访问矩阵中的标量元素𝑎𝑖𝑗，交换矩阵的行和列时，结果称为矩阵的转置（transpose）。 我们用𝐚⊤来表示矩阵的转置，如果𝐁=𝐀⊤， 则对于任意𝑖和𝑗，都有𝑏𝑖𝑗=𝑎𝑗𝑖。 因此，在 :eqref:eq_matrix_def中的转置是一个形状为𝑛×𝑚的矩阵：

现在我们在代码中访问(矩阵的转置)。

A.T

#tensor([[ 0,  4,  8, 12, 16],
#       [ 1,  5,  9, 13, 17],
#       [ 2,  6, 10, 14, 18],
#       [ 3,  7, 11, 15, 19]])

作为方阵的一种特殊类型，[对称矩阵（symmetric matrix）𝐀等于其转置：𝐀=𝐀⊤]。 这里我们定义一个对称矩阵𝐁：

B = torch.tensor([[1, 2, 3], [2, 0, 4], [3, 4, 5]])

B

#tensor([[1, 2, 3],
#       [2, 0, 4],
#       [3, 4, 5]])

现在我们将B与它的转置进行比较。

B == B.T

#tensor([[True, True, True],
#       [True, True, True],
#       [True, True, True]])

矩阵是有用的数据结构：它们允许我们组织具有不同模式的数据。 例如，我们矩阵中的行可能对应于不同的房屋（数据样本），而列可能对应于不同的属性。 如果你曾经使用过电子表格软件或已阅读过 :numref:sec_pandas，这应该听起来很熟悉。 因此，尽管单个向量的默认方向是列向量，但在表示表格数据集的矩阵中， 将每个数据样本作为矩阵中的行向量更为常见。 我们将在后面的章节中讲到这点，这种约定将支持常见的深度学习实践。 例如，沿着张量的最外轴，我们可以访问或遍历小批量的数据样本。

4. 张量

[就像向量是标量的推广，矩阵是向量的推广一样，我们可以构建具有更多轴的数据结构]。 张量（本小节中的“张量”指代数对象）为我们提供了描述具有任意数量轴的𝑛维数组的通用方法。 例如，向量是一阶张量，矩阵是二阶张量。 张量用特殊字体的大写字母表示（例如，𝖷、𝖸和𝖹），它们的索引机制（例如𝑥𝑖𝑗𝑘和[𝖷]1,2𝑖−1,3）与矩阵类似。

当我们开始处理图像时，张量将变得更加重要，图像以𝑛维数组形式出现， 其中3个轴对应于高度、宽度，以及一个通道（channel）轴， 用于表示颜色通道（红色、绿色和蓝色）。 现在，我们先将高阶张量暂放一边，而是专注学习其基础知识。

X = torch.arange(24).reshape(2, 3, 4)

X

#tensor([[[ 0,  1,  2,  3],
#        [ 4,  5,  6,  7],
#        [ 8,  9, 10, 11]],

#        [[12, 13, 14, 15],
#        [16, 17, 18, 19],
#        [20, 21, 22, 23]]])

5. 张量算法的基本性质

标量、向量、矩阵和任意数量轴的张量（本小节中的“张量”指代数对象）有一些实用的属性。 例如，你可能已经从按元素操作的定义中注意到，任何按元素的一元运算都不会改变其操作数的形状。 同样，[给定具有相同形状的任意两个张量，任何按元素二元运算的结果都将是相同形状的张量]。 例如，将两个相同形状的矩阵相加，会在这两个矩阵上执行元素加法。

A = torch.arange(20, dtype=torch.float32).reshape(5, 4)

B = A.clone()  # 通过分配新内存，将A的一个副本分配给B

A, A + B

#(tensor([[ 0.,  1.,  2.,  3.],
#         [ 4.,  5.,  6.,  7.],
#         [ 8.,  9., 10., 11.],
#         [12., 13., 14., 15.],
#         [16., 17., 18., 19.]]), 
#tensor([[ 0.,  2.,  4.,  6.],
#         [ 8., 10., 12., 14.],
#         [16., 18., 20., 22.],
#         [24., 26., 28., 30.],
#         [32., 34., 36., 38.]]))

具体而言，[两个矩阵的按元素乘法称为Hadamard积（Hadamard product）（数学符号⊙）]。 对于矩阵𝐁∈ℝ𝑚×𝑛， 其中第𝑖行和第𝑗列的元素是𝑏𝑖𝑗。 矩阵𝐀（在 :eqref:eq_matrix_def中定义）和𝐁的Hadamard积为：

A * B

#tensor([[  0.,   1.,   4.,   9.],
#        [ 16.,  25.,  36.,  49.],
#        [ 64.,  81., 100., 121.],
#        [144., 169., 196., 225.],
#        [256., 289., 324., 361.]])

将张量乘以或加上一个标量不会改变张量的形状，其中张量的每个元素都将与标量相加或相乘。

a = 2

X = torch.arange(24).reshape(2, 3, 4)

a + X, (a * X).shape

#(tensor([[[ 2,  3,  4,  5],
#          [ 6,  7,  8,  9],
#          [10, 11, 12, 13]],
# 
#         [[14, 15, 16, 17],
#          [18, 19, 20, 21],
#          [22, 23, 24, 25]]]), torch.Size([2, 3, 4]))

6. 降维

 

x = torch.arange(4, dtype=torch.float32)

x, x.sum()

#(tensor([0., 1., 2., 3.]), tensor(6.))

A.shape, A.sum()

#(torch.Size([5, 4]), tensor(190.))

默认情况下，调用求和函数会沿所有的轴降低张量的维度，使它变为一个标量。 我们还可以[指定张量沿哪一个轴来通过求和降低维度]。 以矩阵为例，为了通过求和所有行的元素来降维（轴0），我们可以在调用函数时指定axis=0。 由于输入矩阵沿0轴降维以生成输出向量，因此输入轴0的维数在输出形状中消失。

A_sum_axis0 = A.sum(axis=0)

A_sum_axis0, A_sum_axis0.shape

#(tensor([40., 45., 50., 55.]), torch.Size([4]))

指定axis=1将通过汇总所有列的元素降维（轴1）。因此，输入轴1的维数在输出形状中消失。

A_sum_axis1 = A.sum(axis=1)

A_sum_axis1, A_sum_axis1.shape

#(tensor([ 6., 22., 38., 54., 70.]), torch.Size([5]))

沿着行和列对矩阵求和，等价于对矩阵的所有元素进行求和。

A.sum(axis=[0, 1])  # Same as `A.sum()`

#tensor(190.)

[一个与求和相关的量是平均值（mean或average）]。 我们通过将总和除以元素总数来计算平均值。 在代码中，我们可以调用函数来计算任意形状张量的平均值。

A.mean(), A.sum() / A.numel()

#(tensor(9.5000), tensor(9.5000))

同样，计算平均值的函数也可以沿指定轴降低张量的维度。

A.mean(axis=0), A.sum(axis=0) / A.shape[0]

#(tensor([ 8.,  9., 10., 11.]), tensor([ 8.,  9., 10., 11.])

6.1. 非降维求和

:label:subseq_lin-alg-non-reduction

但是，有时在调用函数来[计算总和或均值时保持轴数不变]会很有用。

sum_A = A.sum(axis=1, keepdims=True)

sum_A

#tensor([[ 6.],
#       [22.],
#       [38.],
#       [54.],
#       [70.]])

例如，由于sum_A在对每行进行求和后仍保持两个轴，我们可以(通过广播将A除以sum_A)。

A / sum_A

#tensor([[0.0000, 0.1667, 0.3333, 0.5000],
#        [0.1818, 0.2273, 0.2727, 0.3182],
#        [0.2105, 0.2368, 0.2632, 0.2895],
#        [0.2222, 0.2407, 0.2593, 0.2778],
#        [0.2286, 0.2429, 0.2571, 0.2714]])

如果我们想沿[某个轴计算A元素的累积总和]， 比如axis=0（按行计算），我们可以调用cumsum函数。 此函数不会沿任何轴降低输入张量的维度。

A.cumsum(axis=0)

#tensor([[ 0.,  1.,  2.,  3.],
#        [ 4.,  6.,  8., 10.],
#        [12., 15., 18., 21.],
#        [24., 28., 32., 36.],
#        [40., 45., 50., 55.]])

7. 点积（Dot Product）

[点积是相同位置的按元素乘积的和~~**]

y = torch.ones(4, dtype = torch.float32)

x, y, torch.dot(x, y)

#(tensor([0., 1., 2., 3.]), tensor([1., 1., 1., 1.]), tensor(6.))

注意，(我们可以通过执行按元素乘法，然后进行求和来表示两个向量的点积)：

torch.sum(x * y)

#tensor(6.)

在代码中使用张量表示矩阵-向量积，我们使用与点积相同的mv函数。 当我们为矩阵A和向量x调用torch.mv(A, x)时，会执行矩阵-向量积。 注意，A的列维数（沿轴1的长度）必须与x的维数（其长度）相同。

A.shape, x.shape, torch.mv(A, x)

#(torch.Size([5, 4]), torch.Size([4]), tensor([ 14.,  38.,  62.,  86., 110.]))

8. 矩阵-矩阵乘法

在A和B上执行矩阵乘法。 这里的A是一个5行4列的矩阵，B是一个4行3列的矩阵。 两者相乘后，我们得到了一个5行3列的矩阵。

B = torch.ones(4, 3)

torch.mm(A, B)

#tensor([[ 6.,  6.,  6.],
#        [22., 22., 22.],
#        [38., 38., 38.],
#        [54., 54., 54.],
#        [70., 70., 70.]])

矩阵-矩阵乘法可以简单地称为矩阵乘法，不应与"Hadamard积"混淆。

9. 范数

:label:subsec_lin-algebra-norms

欧几里得距离是一个𝐿2范数：

u = torch.tensor([3.0, -4.0])

torch.norm(u)

#tensor(5.)

𝐿1范数:

绝对值函数和按元素求和组合起来。

torch.abs(u).sum()

#tensor(7.)

𝐿2范数和𝐿1范数都是更一般的𝐿𝑝范数的特例：

类似于向量的𝐿2范数，[矩阵]𝐗∈ℝ𝑚×𝑛(的Frobenius范数（Frobenius norm）是矩阵元素平方和的平方根：)

(

)

Frobenius范数满足向量范数的所有性质，它就像是矩阵形向量的𝐿2范数。 调用以下函数将计算矩阵的Frobenius范数。

torch.norm(torch.ones((4, 9)))

#tensor(6.)

9.1范数和目标

:label:subsec_norms_and_objectives

在深度学习中，我们经常试图解决优化问题： 最大化分配给观测数据的概率; 最小化预测和真实观测之间的距离。 用向量表示物品（如单词、产品或新闻文章），以便最小化相似项目之间的距离，最大化不同项目之间的距离。 目标，或许是深度学习算法最重要的组成部分（除了数据），通常被表达为范数。

小结

• 标量、向量、矩阵和张量是线性代数中的基本数学对象。
• 向量泛化自标量，矩阵泛化自向量。
• 标量、向量、矩阵和张量分别具有零、一、二和任意数量的轴。
• 一个张量可以通过sum和mean沿指定的轴降低维度。
• 两个矩阵的按元素乘法被称为他们的Hadamard积。它与矩阵乘法不同。
• 在深度学习中，我们经常使用范数，如𝐿1