吴恩达机器学习笔记（10）—支持向量机

本节将继续介绍监督学习中的一个强力的分类器——支持向量机（Support Vector Machine，SVM），其通过「间隔最大化」的思想来学习最优的决策边界，比逻辑回归算法更为鲁棒。

一、支持向量机

首先来直观地理解一下决策边界，考虑一个线性可分的二分类问题：

不同的决策边界

图中有三条直线分别代表三个分类器的决策边界，可以直观地感受到 $H_3$ 应该会好于 $H_1$ 和 $H_2$ 。显然，$H_1$ 甚至不能把类别正确分开，肯定不能考虑；$H_2$ 虽然可以，但是边界距离最近的数据点只有很小的间隔，如果测试数据有一些噪声的话，很可能会被 $H_2$ 错误地分到另一类——即对噪声敏感、泛化能力弱。

而 $H_3$ 似乎距离两侧都有较大的间隔，可以容忍一些微小的噪声。如何能学习到这样一个分类器呢？

1、优化目标

回忆逻辑回归的优化目标：
$$\underset{\theta }{\min }\frac{1}{m}\left[\sum _{i=1}^m{y}^{(i)}\left(-\ln h_{\theta }\left(x^{(i)}\right)\right)+\left(1-y^{(i)}\right)\left(-\ln \left(1-h_{\theta }\left(x^{(i)}\right)\right)\right)\right]+\frac{\lambda }{2m}\sum _{j=1}^n{\theta }_j^2$$

其中的 $h_{\theta }\left(x^{(i)}\right)$ 使用 sigmoid 函数，因此对于一个 $y=1$ 的样本，我们希望 $h_{\theta }(x)$ 也趋近于 1，也就是 ${\theta }^{T}x$ 远大于 0，反之同理。进一步地，我们只考虑优化目标中的代价函数：
$$\text{Cost}\left(h_{\theta }(x),y\right)=\{\begin{array}{ll}-\ln \left(h_{\theta }(x)\right)& y=1\\ -\ln \left(1-h_{\theta }(x)\right)& y=0\end{array}$$

画出两种情况下的代价函数关于 ${\theta }^{T}x$ 的曲线：

Sigmoid 代价函数

记上图中左图为 ${\text{cost}}_1({\theta }^{T}x)$，即分类为 1 时采用的代价；右图为 ${\text{cost}}_0({\theta }^{T}x)$，即分类为 0 时采用的代价。在支持向量机中，我们不再采用 sigmoid 函数，而是将其修改为一条非常接近的折线：

支持向量机的代价函数

其中，折线的拐点位于 $z=\pm 1$ 的位置，先不考虑斜率的大小，则代价函数可以表示为：
$${\text{cost}}_1(z)=\{\begin{array}{ll}0& z⩾1\\ k_1(z-1)& z<1\end{array}{\text{cost}}_0(z)=\{\begin{array}{ll}0& z⩽-1\\ k_0(z+1)& z>-1\end{array}$$

此代价函数也被称为折页损失（Hinge Loss），非常形象，常用于凸优化任务中，也被写作：
$$L(y)=\max (0,1-\hat{y}\cdot y)$$

其中 $y=\pm 1$ 为正确的标签，$\hat{y}$ 为预测输出，通常是软结果，即取 $[-1,1]$ 区间中的值。

另外，SVM 中习惯不除以样本大小 $m$，这不会影响最终的优化目标。并将正则化参数放在第一项而非第二项，即支持向量机的优化目标为：
$$\underset{\theta }{\min }C\sum _{i=1}^m\left[y^{(i)}{\text{cost}}_1\left({\theta }^T{x}^{(i)}\right)+\left(1-y^{(i)}\right){\text{cost}}_0\left({\theta }^T{x}^{(i)}\right)\right]+\frac{1}{2}\sum _{j=1}^n{\theta }_j^2$$

其中，$C$ 就是正则化参数，类比逻辑回归中 $\lambda$ 的作用。并且当 $C$ 取到 $\frac{1}{\lambda }$ 时两者的优化目标一致。

2、大间隔思想

显然，新的代价函数会在计算速度上有一定的优势，但它是如何最大化间隔（Margin） 的呢？我们首先观察第一项代价 $y_1({\theta }^{T}x)+(1-y{)}_0({\theta }^{T}x)$，欲使之最小，最理想的情况就是对于每个样本，都有 ${\text{cost}}_y({\theta }^{T}x)=0$，对应着：
$$\{\begin{array}{ll}{\theta }^{T}x⩾1& \text{if }y=1\\ {\theta }^{T}x⩽-1& \text{if }y=0\end{array}$$

而在逻辑回归中，我们只需要使误分类的样本最少，也就是：
$$\{\begin{array}{ll}{\theta }^{T}x⩾0& \text{if }y=1\\ {\theta }^{T}x⩽0& \text{if }y=0\end{array}$$

因此 SVM 相当于将判别条件变得更苛刻，以文章开篇提到的三条决策边界为例，直线 $H_2$ 和 $H_3$ 以及它俩的任意线性组合，都能完美分开两类，也就是能有无穷多个解满足逻辑回归的优化目标。但对于支持向量机而言，可选的解会相对少很多。而这也使 SVM 能相对更具有鲁棒性，因为我们留出了一个「安全边界」来应对噪声样本。

接下来假设一种极端的情况，我们将正则化参数 $C$ 取一个非常大的值，此时模型会倾向于将第一项收敛为 0。那么模型的优化目标可以改写为：
$$\underset{\theta }{\min }\frac{1}{2}\sum _{j=1}^n{\theta }_j^2\text{ s.t }\{\begin{array}{ll}{\theta }^T{x}^{(i)}⩾1& \text{if }{y}^{(i)}=1\\ {\theta }^T{x}^{(i)}⩽-1& \text{if }{y}^{(i)}=0\end{array}$$

上式也被称为硬间隔（Hard Margin） 优化目标，用于在线性可分的数据集中找到唯一的最优边界。但在现实情况中，数据样本通常更加复杂，即使真的线性可分，也可能会存在部分离群点，而模型为了得到完美的边界，会学习到偏差很大的边界。因此在实际中通常不将 $C$ 设置得过大，采用软间隔（Soft Margin）。

存在离群点时的硬间隔和软间隔

回顾我们前面说到的，可以将 $C$ 类比为 $\frac{1}{\lambda }$，因此：

• $C$ 较大时，相当于 $\lambda$ 较小，可能会导致过拟合、高方差，出现如上图红线那样的情形。
• $C$ 较小时，相当于 $\lambda$ 较大，可能会导致欠拟合、高偏差，甚至无法分类。

3、几何角度理解大间隔

在前文改写的优化目标的基础上，我们注意到 ${\theta }^{T}x$ 其实是参数 $\theta$ 和 $x$ 两个向量的点积（内积），可以视作 $x$ 向 $\theta$ 的投影长度乘上 $\theta$ 的长度 $\Vert \theta \Vert$。

为了更好理解，我们忽略掉截距，令 ${\theta }_0=0$，将特征数 $n$ 置为 2，于是仅有两个特征 { x 1 , x 2 } \{x_1, x_2\} {x1​,x2​} 和两个参数 { θ 1 , θ 2 } \{\theta_1, \theta_2\} {θ1​,θ2​}。则此时有：
$$\frac{1}{2}\sum _{j=1}^n{\theta }_j^2=\frac{1}{2}\left({\theta }_1^2+{\theta }_2^2\right)=\frac{1}{2}{\left(\sqrt{{\theta }_1^2+{\theta }_2^2}\right)}^2=\frac{1}{2}\Vert \theta {\Vert }^2$$

从几何角度理解，参数 $\theta$ 其实是决策边界的法向量，因此会和边界本身呈现垂直关系。而特征 $x$ 就是样本点在（特征空间）坐标系上的向量，起点为原点。绘制出如下样例：

样本点在法向量上的投影

其中 $p^{(i)}$ 为投影轴的长度（可正可负），于是可以得到：
$${\theta }^T{x}^{(i)}={\theta }_1{x}_1^{(i)}+{\theta }_2{x}_2^{(i)}=p^{(i)}\Vert \theta \Vert$$

因此优化目标可以从几何角度再次改写为：
$$\underset{\theta }{\min }\frac{1}{2}\Vert \theta {\Vert }^2\text{ s. t }\{\begin{array}{ll}{p}^{(i)}\Vert \theta \Vert ⩾1& \text{if }{y}^{(i)}=1\\ p^{(i)}\Vert \theta \Vert ⩽-1& \text{if }{y}^{(i)}=0\end{array}$$

显然，为了让法向量的范数 $\Vert \theta {\Vert }^2$ 最小化，我们必须增大样本在法向量上的投影 $p^{(i)}$ 长度，如下图所示：

不同方向的法向量具有不同的投影长度

以上就是为什么支持向量机最终会找到最大间隔的原因。当然，在推导的过程中我们使用了简化的假设，例如 ${\theta }_0=0$，这是为了让决策平面通过原点。

二、实际使用

1、软间隔

当训练数据不能线性可分但是可以近似线性可分时，可以允许 SVM 在少量样本上出错，即将之前的硬间隔最大化条件放宽一点，为此引入软间隔（Soft Margin）的概念。

此时，我们就不再不将正则化参数 $C$ 设置得过大，则优化目标就变成：
$$\underset{\theta ,{\theta }_0}{\min }\frac{1}{2}\Vert \theta {\Vert }^2+C\sum _{i=1}^n\max \left(0,1-y^{(i)}\left({\theta }^T{x}^{(i)}+{\theta }_0\right)\right)$$

2、高斯核函数

对于非线性可分的数据，在之前的文章中我们知道可以引入高阶特征来进行多项式回归，而问题就是如何选择这些高阶特征？除了通过组合原有特征，在这里我们引入核函数 $\varphi :x\mapsto \varphi (x)$，它将原来的 $n$ 维向量映射为更高维的向量，使得这些向量在该更高维空间中线性可分。

原始空间通过核函数映射到高维空间

在之前的例子中，可以认为是使用了线性核 $\varphi (x)=x$，即不做任何改变；而接下来我们将介绍一种最常用的核函数——高斯核（Gaussian Kernel）：
$${\varphi }_i(x)=\text{Sim}\left(x,l^{(i)}\right)=\exp \left\{-\frac{{\Vert x-l^{(i)}\Vert }^2}{2{\sigma }^2}\right\}$$

其中 $\sigma$ 是可调节参数，$l^{(i)}$ 被称为地标（Landmarks），是原始空间中选取的某些点，具有和样本特征 $x$ 相同的维度。$\Vert x-l^{(i)}\Vert$ 即为样本到地标的欧氏距离。

可以看出，高斯核与正态分布的形式有些许类似，绘制出函数图像：

不同参数下的高斯核函数图像

显然，$x$ 距离 $l^{(i)}$ 越远时，分子越大，函数值越接近 $0$；距离越近时，分子越接近 $0$，函数值越接近 $1$；当 $x=l^{(i)}$ 时，函数值取到最大值。因此，我们自然而然地想到可以取训练集中的样本点作为地标，有 $m$ 个样本就取 $m$ 个地标。这里不需要区分正负样本点，因为在核函数 ${\varphi }^{(i)}(x)$ 前面还有一个可学习的 ${\theta }^{(i)}$，对于不同样本会自动区分。注意到 $\sigma$ 较大时，变化也较为平缓，模型可能会欠拟合，造成高偏差；反之则可能会造成过拟合。

假设我们原来用 $x^{(i)}=\left\{1,x_1^{(i)},x_2^{(i)},\cdots ,x_n^{(i)}\right\}\in {\mathbb{R}}^{n+1}$ 来描述第 $j$ 个样本的特征向量，则现在就是使用：
$$f\left(x^{(i)}\right)=\left[\begin{array}{c}1\\ {\varphi }_1\left(x^{(i)}\right)\\ {\varphi }_2\left(x^{(i)}\right)\\ ⋮\\ {\varphi }_i\left(x^{(i)}\right)\\ ⋮\\ {\varphi }_m\left(x^{(i)}\right)\end{array}\right]=\left[\begin{array}{c}1\\ \text{Sim}\left(x^{(i)},l^{(1)}\right)\\ \text{Sim}\left(x^{(i)},l^{(2)}\right)\\ ⋮\\ \text{Sim}\left(x^{(i)},l^{(i)}\right)=1\\ ⋮\\ \text{Sim}\left(x^{(i)},l^{(m)}\right)\end{array}\right]\in {\mathbb{R}}^{m+1}$$

三、代码实现

在实际运用 SVM 时，我们通常会调用现成的机器学习第三方库，比较经典的就有 Python 中的 Scikit-learn，其调用支持向量分类器的函数如下：

sklearn.svm.SVC(C=1.0, kernel='rbf', gamma='auto', probability=False)

该函数的实现基于 libsvm，其中二次规划问题的解决算法是 SMO，通常需要调节的参数如下：

• C：正则化参数，取值越大，对松弛变量（误分类的代价函数）的惩罚越大，适用于训练集几乎可分的情况，此时训练集上的准确率较高，但泛化能力弱（过拟合）。
• kernel：默认取 rbf 径向基函数（高斯核），可选 linear 线性核、poly 多项式核、sigmod 等。
• gamma：核函数系数，默认为 auto，取样本特征数的倒数。
• probability：是否启用概率估计，即最后的输出会包含属于每个类的概率值。

下面以 Coursera 上的数据集 ex6data1.mat 为例，这是一个线性可分的数据集：

数据集 ex6data1 可视化

使用如下代码：

import numpy as np
from scipy.io import loadmat
from sklearn import svm
import matplotlib.pyplot as plt

# load data
data = loadmat('ex6data1.mat')
X = data['X']			# (51, 2)
y = data['y'].flatten()	# (51, )

# classifier define
clf = svm.SVC(C=1, kernel='linear')
clf.fit(X, y)

# dicision boundary
x1, x2 = np.meshgrid(np.linspace(0, 4.5, 100), np.linspace(1.3, 4.5, 100))
f = np.concatenate((x1.reshape(10000, 1), x2.reshape(10000, 1)), axis = 1)
res = clf.decision_function(f).reshape((100,100))

# draw
plt.xlabel('x1')
plt.ylabel('x2')
plt.title('C=1')
plt.plot(X[y==1][:, 0], X[y==1][:, 1], '+', color='black')
plt.plot(X[y==0][:, 0], X[y==0][:, 1], 'o', color='gold')
plt.contour(x1, x2, res, [0])
plt.show()

训练结果如下：

数据集 ex6data1 训练结果

此外还有一个非线性可分的数据集 ex6data2.mat：

数据集 ex6data2 可视化

使用如下代码：

import numpy as np
from scipy.io import loadmat
from sklearn import svm
import matplotlib.pyplot as plt

# load data
data = loadmat('ex6data2.mat')
X = data['X']			# (863, 2)
y = data['y'].flatten()	# (863, )

# classifier define
clf = svm.SVC(C=100, kernel='rbf', gamma=10, probability=True)
clf.fit(X, y)
print(clf.score(X, y))

# dicision boundary
x1, x2 = np.meshgrid(np.linspace(0, 1, 100), np.linspace(0.38, 1, 100))
f = np.concatenate((x1.reshape(10000, 1), x2.reshape(10000, 1)), axis = 1)
res = clf.decision_function(f).reshape((100,100))

# draw
plt.xlabel('x1')
plt.ylabel('x2')
plt.title('C=100, gamma=10')
plt.plot(X[y==1][:, 0], X[y==1][:, 1], '+', color='black')
plt.plot(X[y==0][:, 0], X[y==0][:, 1], 'o', color='gold')
plt.contour(x1, x2, res, [0])
plt.show()

训练结果如下：

数据集 ex6data2 训练结果