[leetcode 5] Longest Palindromic Substring

题目：

Given a string S, find the longest palindromic substring in S. You may assume that the maximum length of S is 1000, and there exists one unique longest palindromic substring.
思路：

1.本题目可以在O(n)时间复杂度内完成；

2.本算法采取折叠的思路，对于一个回文字符串来说，可以以中间字符进行折叠，折叠后前段字符串和后段字符串可以完全重合；

3.如图所示：

4.在此图中，设c为一个回文字符串的中心，R为该回文字符串的右边界，L为其左边界，对于任何一点j来说，若想计算以j为中心的回文字符串的右边界，j关于c的对称点i具有重要的参考意义，以一个数组p存储以任何一点k为中心的回文字符串的半径（即其右边界至该点的距离），那么p[j]就是以j为中心的回文字符串的半径；

5.现在考虑以i为中心的回文字符串，若其半径p[i]小于i到L的距离（依照回文字符串对称性，也即j到R的距离），则p[j]>=p[i]（如0 4 2 3 2 4 2 3 2 4 2，以第二个4为中心的回文字符串为4 2 3 2 4 2 3 2 4，以第一个3为中心的回文字符串为4 2 3 2 4，第二个3与第一个3根据第二个4对称，以第二个3为中心的回文字符串为2 4 2 3 2 4 2），此外，按照折叠思路，由于以c为中心折叠，[L,C]与[C,R]可以完全重合，那么在[L,R]范围内，[i-p[i]，i+[pi]]与[j-[pj],j+p[j]]也可完全重合；

6.若p[i]大于R-j，那么以j为中心，以R-j为半径的字符串必然是对称的；

7.根据4、5步可以快速确定以j为圆心的回文字符串的最小半径，之后具体半径计算则需在此基础上进行再计算，但是最小半径的确定已经节省了大量时间；

8.上述图中j位于R之前，对于j位于R之后的情况，p[i]已没有任何参考意义，所以p[j]需要从0开始计算；

9.按照折叠理论，每一个回文字符串都可以一个中心进行折叠，但是若回文字符串有偶数个字符，则没有所谓的中心点，基于此，我们可以对原始字符串进行修改，以方便可以使任何一个回文字符串拥有奇数个字符，具体方法为在任意两个字符之间插入一个特殊符号（如#）；

10.依照上述分析，只要不断更新当前最长回文字符串的中心点C与半径R，使用一个指针j从头遍历字符串一次即可获取字符串的最长回文字符子串，于是，该算法时间复杂度为O(n)；

代码：

<span style="font-weight: normal;"><span style="font-size:14px;">string process(string s){
	int n = s.length();
	if (n == 0) return "^$";
	string ret = "^";
	for (int i = 0; i < n; i++)
		ret += "#" + s.substr(i, 1);
	ret += "#$";
	return ret;
}

class Solution{
public:
	string longestPalindrome(string s){
		s=process(s);
		int len=s.length();
		int *p=new int[len];
		int c=0;int r=0;
		for(int j=1;j!=len-1;++j)
		{
			int i=2*c-j;
			p[j]=(j>c+r)?0:min(p[i],c+r-j);
			while(s[j+p[j]+1]==s[j-p[j]-1])
				++p[j];
			if(p[j]>r)
			{
				c=j;
				r=p[j];
			}
		}
		int maxlen=0;
		int center=0;
		for(int i=0;i!=len-1;++i)
		{
			if(p[i]>maxlen)
			{
				maxlen=p[i];
				center=i;
			}
		}		
		delete[] p;
		s=s.substr(center-maxlen,2*maxlen+1);
		string result;
		for(int i=1;i<=s.length()-2;i+=2)
			result+=s[i];
		return result;
	}
};</span></span>

补充：

1.在对字符串进行预处理时，为了避免字符串越界，需要在其头部和尾部分别做一个标记，如skyhuskyykspanda，处理后为^#s#k#y#h#u#s#k#y#y#k#s#p#a#n#d#a#$