bzoj2742 [HEOI2012]Akai的数学作业（数学）

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#数学 #数论 #因式分解 #bzoj #heoi

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本文介绍了一种用于解决一元多项式方程有理数根的问题的方法。通过将方程转换为关于p/q的形式，并利用整除性质来找出所有可能的有理数解。文章提供了一个具体的算法实现及其代码示例。

bzoj2742 [HEOI2012]Akai的数学作业

原题地址：http://www.lydsy.com/JudgeOnline/problem.php?id=2742

题意：
给出一个一元n次方程： $a_0 + a_1x + a_2x^2 +\cdots +a_nx^n= 0$
求此方程的所有有理数解

数据范围
n <= 100，|a i| <= 2*10^7，an≠ 0

题解：

$a_0 + a_1x + a_2x^2 +\cdots +a_nx^n= 0$
令 $x=\frac{p}{q}$
于是 $a_0+a_1\frac{p}{q} + a_2\frac{p^2}{q^2}+\cdots +a_n\frac{p^n}{q^n}=0$
同乘 $q^n$
$a_0q^n+a_1p^1q^{n-1}+ a_2p^2q^{n-2}+\cdots +a_np^n=0$
留 $a_0q^n$ 在左边：
$a_0q^n=-a_1p^1q^{n-1}- a_2p^2q^{n-2}-\cdots -a_np^n$
右边都有p的因子，于是 $a_0$ 是p的倍数，
同理， $a_n$ 是q的倍数，
于是暴力枚举p，q，每次O(n)地去判断即可，
注意0的情况。

代码：

#include<cstdio>
#include<iostream>
#include<cstring>
#include<algorithm>
#include<cmath>
using namespace std;
const int mod=1000000007;
int n,a[105],a0=0,an=0,P[105],Q[105],pp[10005],qq[10005],top=0;
struct node
{
    int x,y;
    node(){}
    node(int x,int y):x(x),y(y){}
}ans[10005];
bool cmp(const node &A,const node &B)
{
    return (double)A.x/A.y<(double)B.x/B.y;
}
bool flag=0;
int gcd(int x,int y)
{
    return (y==0)?x:gcd(y,x%y);
}
void getans(int p,int q)
{
    P[0]=1; Q[0]=1; int x=p; int y=q;
    for(int i=1;i<=n;i++) P[i]=(1LL*P[i-1]*p)%mod;
    for(int i=1;i<=n;i++) Q[i]=(1LL*Q[i-1]*q)%mod;
    int ret=0;
    for(int i=0;i<=n;i++) ret=(ret+1LL*((1LL*a[i]*Q[n-i]+mod)%mod)*P[i]%mod)%mod;
    if(ret==0) ans[++top]=node(p,q);
    p=(-p+mod)%mod; for(int i=1;i<=n;i++) P[i]=(1LL*P[i-1]*p)%mod;
    ret=0; 
    for(int i=0;i<=n;i++) ret=(ret+1LL*((1LL*a[i]*Q[n-i])%mod+mod)*P[i]%mod)%mod;
    if(ret==0) ans[++top]=node(-x,y);
}
int main()
{
    scanf("%d",&n);
    for(int i=0;i<=n;i++) {scanf("%d",&a[i]);if(!a0)a0=abs(a[i]);}
    an=abs(a[n]);
    if(a[0]==0) flag=1;
    for(int i=1;i*i<=a0;i++) if(a0%i==0) 
    {
        pp[++pp[0]]=i;
        if(a0/i!=i) pp[++pp[0]]=a0/i;
    }
    for(int i=1;i*i<=an;i++) if(an%i==0) 
    {
        qq[++qq[0]]=i;
        if(an/i!=i) qq[++qq[0]]=an/i;
    }
    for(int i=1;i<=pp[0];i++)
    {
        for(int j=1;j<=qq[0];j++)
        {   
            if(gcd(pp[i],qq[j])==1) 
            getans(pp[i],qq[j]);
        }
    }

    sort(ans+1,ans+top+1,cmp);
    printf("%d\n",top+flag); 
    for(int i=1;i<=top;i++)
    {
        if(flag&&ans[i].x>0&&(i==1||ans[i-1].x<0)) printf("0\n");
        if(ans[i].y==1) printf("%d\n",ans[i].x);
        else printf("%d/%d\n",ans[i].x,ans[i].y);
    }
    return 0;
}