树【C语言】基础

树

树是一种非线性的数据结构，它是由n（n>=0）个有限结点组成一个具有层次关系的集合。把它叫做树是因 为它看起来像一棵倒挂的树，也就是说它是根朝上，而叶朝下的。

• 有一个特殊的结点，称为根结点，根节点没有前驱结点
• 除根节点外，其余结点被分成M(M>0)个互不相交的集合T1、T2、……、Tm，其中每一个集合Ti(1<= i <= m)又是一棵结构与树类似的子树。每棵子树的根结点有且只有一个前驱，可以有0个或多个后继
• 因此，树是递归定义的

注意：树形结构中，子树之间不能有交集，否则就不是树形结构。

• 节点的度：一个节点含有的子树的个数称为该节点的度； 如上图：A的为6
• 叶节点或终端节点：度为0的节点称为叶节点； 如上图：B、C、H、I...等节点为叶节点
• 非终端节点或分支节点：度不为0的节点； 如上图：D、E、F、G...等节点为分支节点
• 双亲节点或父节点：若一个节点含有子节点，则这个节点称为其子节点的父节点； 如上图：A是B的父节点
• 孩子节点或子节点：一个节点含有的子树的根节点称为该节点的子节点； 如上图：B是A的孩子节点
• 兄弟节点：具有相同父节点的节点互称为兄弟节点； 如上图：B、C是兄弟节点
• 树的度：一棵树中，最大的节点的度称为树的度； 如上图：树的度为6
• 节点的层次：从根开始定义起，根为第1层，根的子节点为第2层，以此类推；
• 树的高度或深度：树中节点的最大层次； 如上图：树的高度为4
• 堂兄弟节点：双亲在同一层的节点互为堂兄弟；如上图：H、I互为兄弟节点
• 节点的祖先：从根到该节点所经分支上的所有节点；如上图：A是所有节点的祖先
• 子孙：以某节点为根的子树中任一节点都称为该节点的子孙。如上图：所有节点都是A的子孙
• 森林：由m（m>0）棵互不相交的树的集合称为森林；

二叉树概念及结构

概念

一棵二叉树是结点的一个有限集合，该集合:

1. 或者为空

2. 由一个根节点加上两棵别称为左子树和右子树的二叉树组成

从上图可以看出：

1. 二叉树不存在度大于2的结点
2. 二叉树的子树有左右之分，次序不能颠倒，因此二叉树是有序树

注意：对于任意的二叉树都是由以下几种情况复合而成的：

2.3 特殊的二叉树

1. 满二叉树：一个二叉树，如果每一个层的结点数都达到最大值，则这个二叉树就是满二叉树。也就是说，如果一个二叉树的层数为K，且结点总数是 2^k-1，则它就是满二叉树。

ps.第k层的结点是2^(k-1)

高度k的满二叉树总结点=2^0+2^1+...+2^(k-1)

用等比数列求和公式

=2^k-1

2.完全二叉树：完全二叉树是效率很高的数据结构，完全二叉树是由满二叉树而引出来的。对于深度为K 的，有n个结点的二叉树，当且仅当其每一个结点都与深度为K的满二叉树中编号从1至n的结点一一对应时称之为完全二叉树。 要注意的是满二叉树是一种特殊的完全二叉树

 ps.前N-1层是满的，最后一层可以不满，但是必须从左到右是连续的

假设完全二叉树的高度k

最多：2^0+2^1+...+2^(k-1)=2^k-1

最少：2^(k-1)

二叉树的性质

1. 若规定根节点的层数为1，则一棵非空二叉树的第i层上最多有2^(i-1)个结点.

2. 若规定根节点的层数为1，则深度为h的二叉树的最大结点数是2^h-1 .

3. 对任何一棵二叉树, 如果度为0其叶结点个数为 n0, 度为2的分支结点个数为n2 ,则有 n0＝ n2＋1

• 增加一个度为0的，度为2的分支结点个数不变
• 增加一个度为2的，度为2的分支结点个数+1

应用：

在具有 2n 个结点的完全二叉树中，叶子结点个数为（ ）

A.n                            B.n+1                                            C.n-1                             D.n/2

【分析】：

假设度为0的有N0个

假设度为0的有N1个

假设度为0的有N2个

N0+N1+N2=2n

N0+N1+N0-1=2n

完全二叉树N1要么是1，要么是0

2N0+1-1=2n

答案：A

4. 若规定根节点的层数为1，具有n个结点的满二叉树的深度，h=log₂(n+1) . (ps：log₂(n+1)是log以2 为底，n+1为对数)

完全二叉树

大堆：树中所有父亲都大于等于孩子

小堆：树中所有父亲都小于等于孩子

孩子和父亲下标关系：

leftchild = parent*2+1

rightchild = parent*2+2

二叉树的遍历

前序、中序以及后序遍历

按照规则，二叉树的遍历有：前序/中序/后序的递归结构遍历：

1. 前序遍历(Preorder Traversal 亦称先序遍历)——访问根结点的操作发生在遍历其左右子树之前。

2. 中序遍历(Inorder Traversal)——访问根结点的操作发生在遍历其左右子树之中（间）。

3. 后序遍历(Postorder Traversal)——访问根结点的操作发生在遍历其左右子树之后。

• 无法只通过先序遍历和后序遍历结果还原一颗二叉树：因为中序遍历提供了左右子树划分这一重要信息

层序遍历

设二叉树的根节点所在层数为1，层序遍历就是从所在二叉树的根节点出发，首先访问第一层的树根节点，然后从左到右访问第2层 上的节点，接着是第三层的节点，以此类推，自上而下，自左至右逐层访问树的结点的过程就是层序遍历

• 二叉树层序遍历需要利用队列数据结构：

因为层序遍历是逐层从左至右遍历所有的结点，因此下一层位于左侧的结点应当先于右侧的 结点，这是一个 FIFO 问题，可以使用队列结构。当层中先遇到的结点的孩子们将会先入队， 在下一层中也将先被访问

二叉查找树

二叉查找树中任意一个结点都满足：

• 左子树如果不空，则左子树所有结点都<本节点
• 右子树如果不空，则左子树所有结点都>本节点
• 其左右子树都是二叉查找树
• 左小右大
• 二叉查找树的中序遍历就是其所有元素的有序序列
• 不设置任何前提条件, 在一颗二叉查找树上搜索一个数值的时间复杂度为O(n)

 查找目标值：

• 如果target<当前结点，进入左子树
• 如果target>当前结点，进入右子树
• 如果进入空结点表明无target

给定一个序列{31,25,57,11,44,78,2,49,19}，将其依次插入一棵二叉查找树

方法：

第一个元素为根

从第二个元素开始，逐个按照小往左大往右的原则插至叶子结点

AVL树（平衡二叉查找树）

• AVL树：尽量保持一棵二叉查找树的平衡性
  每一个结点的左右子树的高度差<=1
• 方法：如果插入一个结点导致树不平衡，通过旋转调整回平衡
• 其结点和左右子树之间保持着大小关系，可进行范围式查找
• 在该树上搜索一个数值的时间复杂度是O(lgn)