NEFU2013省赛集训6

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本文探讨了图论中的多源最短路径问题及组合优化问题。针对多源最短路径问题，采用FLOYD算法进行高效求解，并强调了在动态图中正确更新最短路径的重要性。对于组合优化问题，则提出了一种通过组合元素并利用二分查找来找到最优解的方法。

E题

题意：很明显，给你一个图，刚开始所有点都不经过，但是随着查询操作，点会一个个开放，然后问你每次查询的时候在当前点能通过的路径的情况下的多源最短路径问题。

思路：Q很大有100000，那么每次更新操作做多只能O(n^2)了，那么可以考虑用FLOYD。对于每次的更新，每更新与加入点有关的边，就可以更新与这条边有关的最短多源路径了，然后查询x到y的距离的复杂度也就是O(1)了。最高复杂度O(N*N*N);

这里刚开始我一直WA了，在更新最短路的时候，我是将所有的与加入点有关的边先更新后再从新更新最短路径，其实是不正确的，因为不能保证dis[i][x]或者dis[x][j]是最短的,x是新加入的点。所以必须每次加入一条边的时候就更新与这条边有关的最短路径。

#include <iostream>
#include <cstring>
#include <cstdio>
#include <queue>
using namespace std;
const int maxv=501;
const int maxe=100001;
const int oo=1000000007;
int dis[maxv][maxv];
int data[maxv][maxv];
bool used[maxv];
int main()
{
    int n,m,q,ca=1,u,v,d,op,i,j,k;
    while(~scanf("%d%d%d",&n,&m,&q))
    {
        if(n==0&&m==0&&q==0) break;
        for(i=0; i<n; i++)
            for(j=0; j<n; j++)
                data[i][j]=dis[i][j]=(i==j?0:oo);
        memset(used,0,sizeof(used));
        while(m--)
        {
            scanf("%d%d%d",&u,&v,&d);
            data[u][v]=min(data[u][v],d);
        }
        printf("Case %d:\n",ca++);
        while(q--)
        {
            scanf("%d",&op);
            if(op)
            {
                scanf("%d%d",&u,&v);
                if(used[u]&&used[v])
                {
                    if(dis[u][v]<oo)
                        printf("%d\n",dis[u][v]);
                    else puts("No such path.");
                }
                else printf("City %d or %d is not available.\n",u,v);
            }
            else
            {
                scanf("%d",&u);
                if(used[u])
                {
                    printf("City %d is already recaptured.\n",u);
                    continue;
                }
                used[u]=1;
                for(i=0; i<n; i++)
                    if(used[i])
                    {
                            dis[u][i]=min(data[u][i],dis[u][i]);
                            for(j=0;j<n;++j)
                            if(used[j])
                                dis[u][j]=min(dis[u][j],dis[u][i]+dis[i][j]);
                    }
                for(i=0;i<n;i++)
                if(used[i])
                {
                    dis[i][u]=min(data[i][u],dis[i][u]);
                            for(j=0;j<n;++j)
                            if(used[j])
                                dis[j][u]=min(dis[j][u],dis[j][i]+dis[i][u]);
                }
                for(i=0; i<n; i++)
                if(used[i])
                    for(j=0; j<n; j++)
                    if(used[j])
                        dis[i][j]=min(dis[i][u]+dis[u][j],dis[i][j]);
            }
        }
        printf("\n");
    }
    return 0;
}

G题

题意：给你N个数，然后从这N个数中取做多4个数（可以重复），且他们的和不超过M，要是取的数的和最大。

思路：将这N个数两两相加得到组合，然后二分查找最优解即可。

#include <iostream>
#include <cstdio>
#include <cstring>
#include <algorithm>
using namespace std;
int num[1001001];
int main()
{
    int n,m,ca=1;
    while(cin>>n>>m)
    {
        if(!n&&!m) break;
        for(int i=0;i<n;i++)
        cin>>num[i];
        int cnt=n;
        for(int i=0;i<n;i++)
        for(int j=0;j<n;j++)
            num[cnt++]=num[i]+num[j];
        sort(num,num+cnt);
        int ans=0;
        for(int i=0;i<cnt;i++)
        {
            int l=i,r=cnt-1,tmp=0,mid;
            while(r>=l)
            {
                mid=(r+l)>>1;
                if(m>=num[i]+num[mid]) {tmp=num[i]+num[mid];l=mid+1;}
                else r=mid-1;
            }
            ans=max(ans,tmp);
        }
        printf("Case %d: %d\n\n",ca++,ans);
    }
    return 0;
}