求root(N,k)

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本文介绍了一种处理大数运算中指数爆炸问题的方法，通过递推公式和快速幂技巧，有效地解决了超出数据类型范围的问题。适用于求解特定形式的大数运算。

描述

题目描述
N < k时，root(N,k) = N，否则，root(N,k) = root(N’,k)。N’为N的k进制表示的各位数字之和。输入x,y,k，输出root(x^y,k)的值 (这里^为乘方，不是异或)，2= < k<=16，0 < x,y < 2000000000，有一半的测试点里 x^y 会溢出int的范围(>=2000000000)
输入描述:
每组测试数据包括一行，x(0 < x < 2000000000), y(0 < y < 2000000000), k(2 < =k < =16)
输出描述:
输入可能有多组数据，对于每一组数据，root(x^y, k)的值
示例1
输入

4 4 10

输出

4

分析

乍一看好像很简单的用递归就能做，但其实x^y的部分远超过long long的范围。这里需要用到一个递推，一个(a*b)%c = (a%c*(b%c))%c 的公式，以及快速幂来解决

递推规律

将N用k进制表示，有：
N = a0 + a1*k + a2*k^2 +…..+ an*k^n
则N’可以表示为：
N’ = a0 + a1 + a2 +….+ an
N-N’ = a1*(k-1) + a2*(k^2-1) + … + an*(k^n-1)
由于每一项都有k-1
所以 (N-N’)%(k-1) = 0

递推的找下去有：
(N-N’)%(k-1) = 0
(N’ - N”)%(k-1) = 0
…
…
…
(Nm- Nr)%(k-1) = 0

相加有
（N-Nr）%(k-1) = 0
其中Nr就是我们最终要返回的k进制各项之和，那么Nr = N%(k-1)
所以要求的就是N%(k-1)的结果，不再需要递归，剩下的就是求N= x^y,需要用到快速幂

快速幂

由于图不好插，可以参考 https://blog.youkuaiyun.com/prstaxy/article/details/8740838
另外由于数过大，需要边求边取模
若a^b = a0*a1*a2*…..*an
则 a^b%c = ( (a0 % c) * (a1 % c) * ··· * (an % c ) ) % c
具体可见
https://qjm253.cn/2018/06/03/c++02/

代码

#include<cstdio>
#include<iostream>
#include<algorithm>
#include<string>
using namespace std;
//虽然理论上最终返回的肯定在Int范围内，但计算过程中有超过部分，最好都用Long long
long long root(long long x, long long y, long long k)
{
    long long ans = 1;
    while (y)
    {
        if (y % 2 == 1)
            ans  = (ans * x) % k;
        y >>= 1;
        x = x * x % k;
    }
    return ans;
}
long long QuickPow(long long n, long long base, long long k)
{
    long long ans = 1;

    while (n)
    {
        if (n & 1)
            ans = (base*ans) % k;
        base = (base*base) % k;
        n >>= 1;
    }
    return ans;
}

int main()
{
    long long x, y, k;
    while (cin>>x>>y>>k)
    {
        long long z = root(x, y, k - 1);
        if (z == 0)z = k - 1;
        cout << z << "\n";
    }
}