【Lifht-oj】-1067-Combinations（Lucas定理&逆元）

1067 - Combinations

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Given n different objects, you want to take k of them. How many ways to can do it?

For example, say there are 4 items; you want to take 2 of them. So, you can do it 6 ways.

Take 1, 2

Take 1, 3

Take 1, 4

Take 2, 3

Take 2, 4

Take 3, 4

Input

Input starts with an integer T (≤ 2000), denoting the number of test cases.

Each test case contains two integers n (1 ≤ n ≤ 10⁶), k (0 ≤ k ≤ n).

Output

For each case, output the case number and the desired value. Since the result can be very large, you have to print the result modulo 1000003.

Sample Input	Output for Sample Input
3 4 2 5 0 6 4	Case 1: 6 Case 2: 1 Case 3: 15

 

题意：就是求组合数，但是C(n,m)=n!/(m!(n-m)!),数值很大需要对一个大数来取余，但是有除法是不可以直接取余的，这里就用到了逆元。

定义：对于正整数和，如果有，那么把这个同余方程中的最小正整数解叫做模的逆元。逆元一般用扩展欧几里得算法来求得，如果为素数，那么还可以根据费马小定理得到逆元为

 推导过程如下

                            

给你们我师父关于这个Lucas定理的总结，不说了，我去偷学了。点击打开师父总结

这个是用费马小定理直接写的：

#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<cmath>
#include<queue>
#include<stack>
#include<algorithm>
using namespace std;
#define CLR(a,b)  memset(a,b,sizeof(a))
#define M 1000003
#define LL long long
LL pr[M+10];
LL poww[M+10];
void init1()
{
	pr[0]=1;
	for(int i=1;i<M;i++)			//求n的阶乘 
		pr[i]=pr[i-1]*i%M;
}
LL quick(LL n,LL m,LL k)		//(n^m)%k 
{
	LL ans=1;
	while(m)
	{
		if(m&1)
			ans=ans*n%k;
		n=(n*n)%k;
		m>>=1;
	}
	return ans;
}
void init2()						//求 m 的阶乘和 n-m 阶乘的逆元 
{
	poww[0]=1;
	poww[1]=1;
	for(LL i=2;i<M;i++)
		poww[i]=quick(pr[i],M-2,M); 		//用快速幂求逆元 
}

int main()
{
	int u,ca=1;
	init1();
	init2();					//放里面当然会超时啦，每次都要算啊 
	scanf("%d",&u);
	while(u--)
	{
		LL n,m,a,b,c,ans;
		scanf("%lld %lld",&n,&m);
		a=pr[n];
		b=poww[m];
		c=poww[n-m];
		ans=(a*b%M)*c%M;
		printf("Case %d: %lld\n",ca++,ans);
	}
	return 0;	
} 

Lucas 定理：A、B是非负整数，p是质数。AB写成p进制：A=a[n]a[n-1]...a[0]，B=b[n]b[n-1]...b[0]   这里的每一个数组元素表示其p进制的每一位。

则组合数C(A,B)与C(a[n],b[n])*C(a[n-1],b[n-1])*...*C(a[0],b[0])。也就是说，把大组合数问题变成了一个个的小组合数。（A，B小于mod）

下面这个用了Lucas定理：

#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<cmath>
#include<algorithm>
using namespace std;
#define CLR(a,b)  memset(a,b,sizeof(a))
#define M 1000000
#define inf 0x3f3f3f3f
#define LL long long
const LL mod=1000003;
LL fac[M+10]={1,1};		//我好方，居然定义成int了 QAQ 
void getfac()			//求阶乘 
{
	for(int i=2;i<=M;i++)
		fac[i]=fac[i-1]*i%mod;
}
LL quick_mod(LL n,LL m)			//快速幂求逆元
{
	LL ans=1;
	n%=mod;
	while(m)
	{
		if(m&1)
			ans=ans*n%mod;
		n=n*n%mod;
		m>>=1;
	}
	return ans;
}
LL C(LL n,LL m)
{
	if(m>n)
		return 0;
	return fac[n]*(quick_mod(fac[m]*fac[n-m]%mod,mod-2))%mod;		//还是求C(n,m),同样用逆元求 
}
LL Lucas(LL n,LL m)
{
	if(m==0)
		return 1;
	else						//分解为mod进制:c(a[i],b[i])*..... 
		return C( n%mod , m%mod )*Lucas( n/mod , m/mod )%mod;
}
int main()
{
	getfac();
	int u,ca=1;
	scanf("%d",&u);
	while(u--)
	{
		LL n,m;
		scanf("%lld %lld",&n,&m);
		printf("Case %d: %lld\n",ca++,Lucas(n,m));
	}
	return 0;
}