算法的时间复杂度和空间复杂度

一. 算法效率

1.1 如何衡量一个算法的好坏

 如何衡量一个算法的好坏呢？比如对于以下斐波那契数列：

long long Fib(int N)
{
	if (N < 3)
		return 1;

	return Fib(N - 1) + Fib(N - 2);
}

 斐波那契数列的递归实现方式非常简洁，但简洁一定好吗？那该如何衡量其好与坏呢？

1.2 算法的复杂度

 算法在编写成可执行程序后，运行时需要耗费时间资源和空间(内存)资源 。因此衡量一个算法的好坏，一般是从时间和空间两个维度来衡量的，即时间复杂度和空间复杂度。
 时间复杂度主要衡量一个算法的运行快慢，而空间复杂度主要衡量一个算法运行所需要的额外空间。在计算机发展的早期，计算机的存储容量很小。所以对空间复杂度很是在乎。但是经过计算机行业的迅速发展，计算机的存储容量已经达到了很高的程度。所以我们如今已经不需要再特别关注一个算法的空间复杂度。

二. 时间复杂度

2.1 时间复杂度的概念

 时间复杂度的定义：在计算机科学中，算法的时间复杂度是一个函数，它定量描述了该算法的运行时间。一个算法执行所耗费的时间，从理论上说，是不能算出来的，只有你把你的程序放在机器上跑起来，才能知道。但是我们需要每个算法都上机测试吗？是可以都上机测试，但是这很麻烦，所以才有了时间复杂度这个分析方式。一个算法所花费的时间与其中语句的执行次数成正比例，算法中的基本操作的执行次数，为算法的时间复杂度。
 即：找到某条基本语句与问题规模N之间的数学表达式，就是算出了该算法的时间复杂度。

// 请计算一下Func1中++count语句总共执行了多少次？
void Func1(int N)
{
	int count = 0;
	for (int i = 0; i < N; ++i)
	{
		for (int j = 0; j < N ; ++ j)
		{
			++count;
		}
	}
	for (int k = 0; k < 2 * N; ++k)
	{
		++count;
	}
	int M = 10;
	while (M--)
	{
		++count;
	}
	printf("%d\n", count);
}

Func1 执行的基本操作次数 ：

F(N) = N^2 + 2 * N + 10

N = 10    F(N) = 130
N = 100  F(N) = 10210
N = 1000  F(N) = 1002010

 实际中我们计算时间复杂度时，我们其实并不一定要计算精确的执行次数，而只需要大概执行次数，那么这里我们使用大O的渐进表示法

2.2 大O的渐进表示法

 大O符号（Big O notation）：是用于描述函数渐进行为的数学符号

 推导大O阶方法：

1. 用常数1取代运行时间中的所有加法常数
2. 在修改后的运行次数函数中，只保留最高阶项
3. 如果最高阶项存在且不是1，则去除与这个项目相乘的常数。得到的结果就是大O阶

 使用大O的渐进表示法以后，Func1的时间复杂度为：O(N^2)

 N = 10    F(N) = 100
 N = 100  F(N) = 10000
 N = 1000  F(N) = 1000000

 通过上面我们会发现大O的渐进表示法去掉了那些对结果影响不大的项（本质计算的是函数属于哪个量级），简洁明了的表示出了执行次数。

 另外有些算法的时间复杂度存在最好、平均和最坏情况：

• 最坏情况：任意输入规模的最大运行次数(上界)
• 平均情况：任意输入规模的期望运行次数
• 最好情况：任意输入规模的最小运行次数(下界)

 例如：在一个长度为N数组中搜索一个数据x

• 最好情况：1次找到
• 最坏情况：N次找到
• 平均情况：N/2次找到

 因为，计算时间复杂度时，求的是一个稳健保守的预期值。所以，在实际中一般情况关注的是算法的最坏运行情况，所以数组中搜索数据时间复杂度为O(N)
 
 

2.3 常见时间复杂度计算举例

实例1：

// 计算Func2的时间复杂度？
void Func2(int N)
{
	int count = 0;
	for (int k = 0; k < 2 * N; ++k)
	{
		++count;
	}
	int M = 10;
	while (M--)
	{
		++count;
	}
	printf("%d\n", count);
}

 观察发现在中 Func2 中有两组循环，第一组循环进行 2 * N 次，第二个组循环进行 10 次，基本操作次数：F(N) = 2 * N + 10 ，根据大O渐近表示法，去掉加法常数 10 ，保留最高项，去掉最高阶项的系数，Func2的时间复杂度为 O(N)

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实例2：

// 计算Func3的时间复杂度？
void Func3(int N, int M)
{
	int count = 0;
	for (int k = 0; k < M; ++k)
	{
		++count;
	}
	for (int k = 0; k < N; ++k)
	{
		++count;
	}
	printf("%d\n", count);
}

 观察发现，Func3中存在两组循环，第一组循环执行 M 次，第二组循环执行 N 次，由于 M 和 N 的大小关系未知，不能判断哪组循环影响更大

• 若M = N，O(N) / O(M)
• 若M>>N，O(M)
• 若M<<N，O(N)

当 M = N 时，F(N/M) = 2 * N / 2 * M -> O(N / M)

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实例3：

// 计算Func4的时间复杂度？
void Func4(int N)
{
	int count = 0;
	for (int k = 0; k < 100; ++k)
	{
		++count;
	}
	printf("%d\n", count);
}

 观察发现，只有一个循环，循环执行 100 次，用常数1取代运行时间中的所有加法常数，Func4的时间复杂度：O(1)，O(1) 不是代表一次，是代表常数次，常数用整型类型来规定，而整型有上限，CPU运行的速度足够快，所以用O(1)来表示常数次

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实例4：

// 计算strchr的时间复杂度？
const char* strchr(const char* str, int character); 	 	

 strchr函数的作用：在参数 str 所指向的字符串中搜索第一次出现字符 character 的位置

• 若 character = ‘ h ’ ，则需要运行 1 次
• 若 character = ‘ o ’ ，则需要运行 N / 2 次
• 若 character = ‘ ！’ ，则需要运行 N 次

由于，在计算时间复杂度时，取的是一个保守稳定的预期，所以 strchr 函数的时间复杂度：O(N)

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实例5：

// 计算BubbleSort的时间复杂度？
void BubbleSort(int* a, int n)
{
	assert(a);
	for (size_t end = n; end > 0; --end)
	{
		int exchange = 0;
		for (size_t i = 1; i < end; ++i)
		{
			if (a[i - 1] > a[i])
			{
				Swap(&a[i - 1], &a[i]);
				exchange = 1;
			}
		}
		if (exchange == 0)
			break;
	}
}

 观察发现，这是一个冒泡循环，循环镶嵌着循环

• 当外层循环为 n，内层循环执行 n-1次
• 当外层循环为 n-1，内层循环执行 n-2次
• 当外层循环为 n-2，内层循环执行 n-3次
• 当外层循环为 n-3，内层循环执行 n-4次

。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。

• 当外层循环为 4，内层循环执行 3次
• 当外层循环为 3，内层循环执行 2次
• 当外层循环为 2，内层循环执行 1次
• 当外层循环为 1，内层循环执行 0次

 循环执行次数：1+2+3+4+…+(n-4)+(n-3)+(n-2)+(n-1)

 其实是一个以 1 为首相，1 为公差的等差数列，等差数列和 Sn = (a1+an)*n/2 = (1+n-1)*(n-1) / 2 = (n^2+n) / 2，所以时间复杂度：O(N^2)

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实例6：

// 计算BinarySearch的时间复杂度？
int BinarySearch(int* a, int n, int x)
{
	assert(a);
	int begin = 0;
	int end = n - 1;
	while (begin < end)
	{
		int mid = begin + ((end - begin) >> 1);
		if (a[mid] < x)
			begin = mid + 1;
		else if (a[mid] > x)
			end = mid;
		else
			return mid;
	}
	return -1;
}

 二分查找的局限性：仅适用于有序数据

 二分查找的最坏情况：查找的区间缩放到只剩一个值或者找不到(N/2/2/2…/2/2 = 1)

 次数：除以多少次 2 就查找多少次
 若查找x次，2^x=N， x=log2(N)

 由于对数在文本中不好输入，一般时间复杂度简写为 O(logN)

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实例7：

// 计算阶乘递归Fac的时间复杂度？
long long Fac(size_t N)
{
	if (0 == N)
		return 1;

	return Fac(N - 1) * N;
}

 Fac函数从Fac(N) => Fac(0)，一共执行了N+1次调用，而每次调用的时间复杂度都为O(1)，所以Fac函数的时间复杂度：O(N)

 递归算法的时间复杂度是多次调用的次数的累加

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实例8：

// 计算斐波那契递归Fib的时间复杂度？
long long Fib(size_t N)
{
	if (N < 3)
		return 1;

	return Fib(N - 1) + Fib(N - 2);
}

 Fib函数递归调用的结束条件是 N<3，且return Fib(N-1)+Fib(N-2)，返回一次要调用Fib函数两次
所以F(N)=2^0+2^1+2^2+…+2^(N-1)，这是一个以 1 为首相，2 为公比的等比数列，Sn = 2^N-1，所以Fib函数的时间复杂度：O(2^N)

三. 空间复杂度

 空间复杂度也是一个数学表达式，是对一个算法在运行过程中额外临时占用存储空间大小的量度

 空间复杂度不是程序占用了多少bytes的空间，因为这个也没太大意义，所以空间复杂度算的是变量的个数。空间复杂度计算规则基本跟时间复杂度类似，也使用大O渐进表示法

  注意：函数运行时所需要的栈空间(存储参数、局部变量、一些寄存器信息等)在编译期间已经确定好了，因此空间复杂度主要通过函数在运行时候显式申请的额外空间来确定

实例1：

// 计算BubbleSort的空间复杂度？
void BubbleSort(int* a, int n)
{
	assert(a);
	for (size_t end = n; end > 0; --end)
	{
		int exchange = 0;
		for (size_t i = 1; i < end; ++i)
		{
			if (a[i - 1] > a[i])
			{
				Swap(&a[i - 1], &a[i]);
				exchange = 1;
			}
		}
		if (exchange == 0)
			break;
	}
}

 BubbleSort函数参数为(int* a，int n)，意思是开辟一个的 int类型 空间大小为n 的数组来存储需要排序的数据。并不是为了进行排序操作，额外开辟的空间。
 在这里额外开辟的空间有三个：size_t end，int exchange，size_t i，额外开辟了常数个空间，所以BubbleSort函数的空间复杂度：O(1)

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实例2：

// 计算Fibonacci的空间复杂度？
// 返回斐波那契数列的前n项
long long* Fibonacci(size_t n)
{
	if (n == 0)
		return NULL;

	long long* fibArray = (long long*)malloc((n + 1) * sizeof(long long));
	fibArray[0] = 0;
	fibArray[1] = 1;
	for (int i = 2; i <= n; ++i)
	{
		fibArray[i] = fibArray[i - 1] + fibArray[i - 2];
	}
	return fibArray;
}

 调用 malloc 函数额外开辟了 n+1 空间个数，所以Fibonacci函数的空间复杂度：O(N)

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实例3：

// 计算阶乘递归Fac的空间复杂度？
long long Fac(size_t N)
{
	if (N == 0)
		return 1;

	return Fac(N - 1) * N;
}

 Fac函数从Fac(N) => Fac(N-1) => … => Fac(1) => Fac(0)，一共要进行N次函数调用，每一次调用在栈区上都要额外开辟常数个新的空间(函数栈帧的创建和销毁)，所以Fac函数的空间复杂度：O(N)
 递归问题：深度太深，会栈溢出

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实例4：

// 计算斐波那契递归Fib的空间复杂度？
long long Fib(size_t N)
{
	if (N < 3)
		return 1;

	return Fib(N - 1) + Fib(N - 2);
}

 进行递归调用，先执行左边Fib(N-1)，从Fib(N)递归调用到Fib(2)，一共要开辟N-1个栈帧空间，Fib(2)遇到终止条件(N<3)后，销毁栈帧空间(将栈帧空间返回给操作系统)，再开始执行右边Fib(N-2)，在Fib(2)返回后，Fib(3)调用Fib(1)，此时系统为Fib(1)开辟的栈帧空间是刚才销毁的栈帧空间Fib(2)，本质上空间进行了重复利用

 时间是累积的，空间是可以重复利用的

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四. 常见复杂度比较

 一般算法常见的复杂度如下：

五. 复杂度的oj练习

消失的数字OJ


思路1：
 数组nums原本包含着 0~n 的所有整数，本质可以看成以 1 为首相，1 为公差的等差数列，Sn = (1+n)*n/2，再用Sn减去nums数组中的每一个元素，就可以找到消失的数字

int missingNumber(int* nums, int numsSize) {
    int n = numsSize;
    int total = (n + 1) * n / 2;
    for (int i = 0; i < n; i++)
    {
        total -= nums[i];
    }
    return total;
}

思路2：
 寻找单身狗(按位异或^)
 ^ 相同为0，相异为1，任何数 ^ 0都是其本身，a^0 = a，a^a = 0
 nums数组原本包含 0~n 的所以整数，从零开始异或到n，0 ^ 1 ^2 ^…^n-1 ^ n 。再跟nums数组中的每一个元素异或，相同的元素两两异或后，只剩下缺少的数字与零异或，得到缺少的数字

int missingNumber(int* nums, int numsSize) {
    int n = numsSize;
    int flag = 0;
    for (int i = 0; i <= n; i++)
    {
        flag ^= i;
    }
    for (int i = 0; i < n; i++)
    {
        flag ^= nums[i];
    }
    return flag;
}

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旋转数组OJ

思路1：
 开辟一个大小相同的新数组，将从nums数组中第n-k+1到第n的元素先拷贝到新数组中，接着拷贝第1到第n-k的元素到新数组中，最后将整个新数组拷贝给nums数组中

void rotate(int* nums, int numsSize, int k) {
	int* tmp = (int*)malloc(sizeof(int) * numsSize);
	if (tmp == NULL)
	{
		perror("malloc");
		return 1;
	}
	k %= numsSize;
	int n = numsSize;
	memcpy(tmp, nums + n - k, sizeof(int) * k);
	memcpy(tmp + k, nums, sizeof(int) * (n - k));
	memcpy(nums, tmp, sizeof(int) * (n));
	free(tmp);

思路2：
 先将nums数组中第1到第n-k个元素逆置，再将第n-k+1到n个元素逆置，最后将第1个到第n个元素全部逆置

void reverse(int* a, int left, int right)
{
    while (left < right)
    {
        int tmp = a[left];
        a[left] = a[right];
        a[right] = tmp;
        left++;
        right--;
    }
}
void rotate(int* nums, int numsSize, int k) {
    int n = numsSize;
    k %= numsSize;
    reverse(nums, 0, n - k - 1);
    reverse(nums, n - k, n - 1);
    reverse(nums, 0, n - 1);
}

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