凸性函数的极值问题与三分法的应用-优快云博客

转自：点击打开链接

 三分法——求解凸性函数的极值问题——czyuan原创   2010-04-03 10:10:44|  分类： ACM|举报|字号 订阅

   
 
        二分法作为分治中最常见的方法，适用于单调函数，逼近求解某点的值。但当函数是凸性函数时，二分法就无法适用，这时三分法就可以“大显身手”～～
 

        
       
 
        如图，类似二分的定义Left和Right，mid = (Left + Right) / 2，midmid = (mid + Right) / 2; 如果mid靠近极值点，则Right = midmid；否则(即midmid靠近极值点)，则Left = mid;
 
 程序模版如下：
 
 double Calc(Type a)
 {
     /* 根据题目的意思计算 */
 }
 void Solve(void)
 {
     double Left, Right;
     double mid, midmid;
     double mid_value, midmid_value;
     Left = MIN; Right = MAX;
     while (Left + EPS < Right)
     {
         mid = (Left + Right) / 2;
         midmid = (mid + Right) / 2;
         mid_area = Calc(mid);
         midmid_area = Calc(midmid);
         // 假设求解最大极值.
         if (mid_area >= midmid_area) Right = midmid;
         else Left = mid;
     }
 }
 现根据几道的OJ题目来分析三分法的具体实现。
 
 buaa 1033 Easy Problem 
 http://acm.buaa.edu.cn/oj/problem_show.php?c=0&p=1033
 
 题意为在一条线段上找到一点，与给定的Ｐ点距离最小。很明显的凸性函数，用三分法来解决。
 Calc函数即为求某点到P点的距离。
 
 ZOJ 3203 Light Bulb
 http://acm.zju.edu.cn/onlinejudge/showProblem.do?problemCode=3203

       
      
 
 如图，人左右走动，求影子L的最长长度。
 根据图，很容易发现当灯，人的头部和墙角成一条直线时(假设此时人站在A点)，此时的长度是影子全在地上的最长长度。当人再向右走时，影子开始投影到墙上，当人贴着墙，影子长度即为人的高度。所以当人从A点走到墙，函数是先递增再递减，为凸性函数，所以我们可以用三分法来求解。
 
 下面只给出Calc函数，其他直接套模版即可。
 double Calc(double x)
 {
     return (h * D - H * x) / (D - x) + x;
 }
 
 heru 5081 Turn the corner 08年哈尔滨regional网络赛
 http://acm.hrbeu.edu.cn/index.php?act=problem&proid=5081

       
      
 
 汽车拐弯问题，给定X, Y, l, d判断是否能够拐弯。首先当X或者Y小于d，那么一定不能。
 其次我们发现随着角度θ的增大，最大高度ｈ先增长后减小，即为凸性函数，可以用三分法来求解。
 
 这里的Calc函数需要比较繁琐的推倒公式：
 s = l * cos(θ) + w * sin(θ) - x;
 h = s * tan(θ) + w * cos(θ);
 其中s为汽车最右边的点离拐角的水平距离, h为里拐点最高的距离, θ范围从0到90。
 
 POJ 3301 Texas Trip
 http://acm.pku.edu.cn/JudgeOnline/problem?id=3301
 
 题意为给定n(n <= 30)个点，求出饱含这些点的面积最小的正方形。
 
 有两种解法，一种为逼近法，就是每次m分角度，求出最符合的角度，再继续m分，如此进行times次，即可求出较为精确的解。(m 大概取10, times取30即可)
 
 第二种解法即为三分法，首先旋转的角度只要在0到180度即可，超过180度跟前面的相同的。坐标轴旋转后，坐标变换为：
 X’ = x * cosa - y * sina;
 y’ = y * cosa + x * sina;