斯特林数

本文介绍了斯特林数的概念及其在组合数学中的应用。斯特林数分为第一类和第二类,分别用于解决不同类型的组合问题。文章详细阐述了第一类斯特林数的递推公式及其特殊性质,并给出了数学归纳法和构造问题的证明方法。同时,还介绍了第二类斯特林数的递推公式及性质。

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简介

斯特林数是组合数学中的一个重要内容,有许多有用的性质。它由十八世纪的苏格兰数学家James Stirling首先发现并说明了它们的重要性。
斯特林数主要处理的是把N个不同的元素分成k个集合或环的个数问题。现在我们说的斯特林数可以指两类数,分为第一类斯特林数和第二类斯特林数,其中第一类斯特林数还分成有符号和无符号两种。

第一类斯特林数

这里仅讨论有符号的第一类斯特林数。
第一类斯特林数表示的是将n个不同元素分成k个不同的环的方案数。两个环不相同当且仅当这两个环不能通过旋转得到。表示方法为:

 

 

                                                                                 
考虑递推,把nn个不同元素分成k个不同的环有两种转移。第一种,有可能是n−1个不同元素分成k−1个不同的环,当前的第n个独立成一个元素。第二种可能是n−1个不同元素已经分好了k个不同的环,当前这个可以加进去。加在每个已有元素的逆时针方向(或顺时针方向,方向没有关系,只要统一即可)就不会出现重复,共有n−1种方法,所以:

                                                


这就是第一类斯特林数的递推式,也可以写成:

                                                     s(n,k)=s(n−1,k−1)+s(n−1,k)∗k

性质

组合数学中的定理暴力求解可行,但是不好玩。所以组合数学中很多定理的证明是通过构造一个问题,用两种不同的方法计算,由于是同一个问题,那么算出来的答案一定是相等的,从而证明等式,简称“算两次”。
第一类斯特林数有如下特殊性质:

                                                              

下面给出性质1,3,4,5的证明。

性质一

显然,我们把n个元素排列起来,有n!种可能,首尾相接即可得到一个环。这里面每种情况重复了n次,因为可以旋转n次,所以除以n,得到s(n,1)=(n−1)!.

性质三


这里给出数学归纳法的证明。
首先,s(2,2)=1∗1=1,符合定义。
下面通过递推式和性质一证明性质三对于n也成立:

                                              


得证!

性质四

同理可用数学归纳法强行计算。巧妙的方法我还没想到。

性质五

这里有一个巧妙地“算两次”方法。
首先构造一个问题,求n个数的所有排列。
首先用乘法原理直接得出结论,ans=n!。
我们知道,对于一个排列对应一个置换,即:

                                                    

把这个置换中的上下对应位置连边,可以得到许多的环。由于排列和置换是一一对应的,所以我们要求排列的个数,就是求用n个元素组成环的方案数,所以我们枚举环的个数:

                                                      


由于我们有s(n,0)=0,所以也可以写成:

                                                      

第二类斯特林数

第二类斯特林数表示把n个元素分成k个非空集合的方案数,集合内是无序的。这样,我们很容易得出转移:
分为两种情况。第一种情况,如果前n−1个元素组成了k−1个非空集合,那么当前元素自成一个集合。第二种情况,如果前n−1个元素组成了k个集合,那么当前的这个元素可以放进这k个集合中任意的一个。所以我们的到来递推方程:

                                                
也可以写成:

                                             

性质

通项公式:

                                
大概就是容斥原理,k枚举有多少个集合是空的,每种情况有种空集情况,n个元素可以放进非空的m−k个集合中。这样求出来的答案是有序的,所以我们除以m!使得其变为无序。

最后推送上斯特林公式求阶乘长度

lg(n!)=lg(2*pi*n)/2+n*lg(n/e)

e=2.71828182845

pi=3.1415926

可直接推得位数:res = lg(2*pi*n)/2+n*lg(n/e)+1

转自:https://www.cnblogs.com/owenyu/p/6724661.html

<think>好的,我现在需要回答用户关于斯特林的定义、用途和学背景的问题。首先,我要确保自己正确理解斯特林的不同类型,因为斯特林分为第一类和第二类,可能用户并不清楚两者的区别,所以需要分别解释。 首先,斯特林的定义。斯特林第一类,记作s(n,k),通常有两种形式:有符号和无符号的。用户可能不知道这一点,需要明确说明。而斯特林第二类,记作S(n,k),是将n个元素分成k个非空子集的方式。这需要举例子,比如用具体的值帮助理解,比如S(3,2)=3,这样更直观。 接下来是学背景。斯特林出现在组合学和排列组合的问题中,可能涉及排列的循环结构或者集合的划分。需要联系到排列组合的基本概念,比如排列的循环分解,或者集合的分划,这可能和生成函或递推公式有关。比如斯特林的递推关系式,比如s(n,k)=s(n-1,k-1) + (n-1)s(n-1,k),而第二类的递推式是S(n,k)=S(n-1,k-1)+k*S(n-1,k)。这些递推式可能需要解释其背后的组合意义,比如新增一个元素时如何分配到已有的子集或新的子集。 然后是用途。斯特林的应用领域可能包括组合计、多项式展开(比如将阶乘表示为多项式,或者将普通幂转为下降阶乘)、概率论中的计算,或者统计学中的某些分布。比如在展开x^n时,可以用斯特林转化为下降阶乘的和。这需要举例,比如x^3 = S(3,1)x^{(1)} + S(3,2)x^{(2)} + S(3,3)x^{(3)},其中x^{(k)}是下降阶乘。这样用户能更清楚其应用。 同时,可能需要提到斯特林在排列组合问题中的具体应用,比如计算包含特定循环的排列,或者将元素分配到不同盒子的方式。此外,斯特林和其他学概念的联系,比如贝尔(所有划分的总,即贝尔是第二类斯特林的和)、或与拉赫、生成函的关系。 需要注意的是,用户提供的引用中有提到正态分布、几何测量和信息理论,但这些可能与斯特林关系不大。不过,用户之前的引用可能只是示例,当前问题与这些无关,所以可以忽略,除非有相关联系,但暂时没有想到明显的关联,所以可能不需要引用这些内容。 接下来需要生成相关问题。可能的问题包括斯特林的递推公式如何推导,斯特林与贝尔的关系,斯特林在哪些学问题中有应用,或者实际应用中的例子,如密码学、统计学中的使用等。需要确保问题覆盖不同方面,帮助用户进一步探索。 现在检查是否遗漏了重要点:斯特林的生成函,或者其与排列组合中的其他的比较,比如与组合或排列的区别。此外,可能需要说明斯特林在离散学和计算机科学中的应用,比如算法分析中的情况划分,或者据结构中的某些问题。 最后,要确保回答结构清晰,分点说明定义、学背景、用途,每个部分简明扼要,同时使用正确的中文术语和LaTeX格式的学表达式。例如,斯特林第一类使用$s(n,k)$或$\genfrac[]{0pt}{}{n}{k}$,第二类用$S(n,k)$或$\genfrac\{\}{0pt}{}{n}{k}$,但用户可能更熟悉中括号和大括号的表示法,所以需要明确标注。</think>### 斯特林的定义、用途与学背景 #### 1. **定义** 斯特林是组合学中描述排列与集合划分方式的两类重要整,分为**第一类斯特林**和**第二类斯特林**。 - **第一类斯特林**(无符号): 记作 $s(n, k)$ 或 $\genfrac[]{0pt}{}{n}{k}$,表示将 $n$ 个不同元素划分为 $k$ 个**非空循环排列**的方式。例如,$s(4, 2) = 11$,即4个元素的排列中形成2个循环的情况有11种[^1]。 - **第二类斯特林**: 记作 $S(n, k)$ 或 $\genfrac\{\}{0pt}{}{n}{k}$,表示将 $n$ 个不同元素划分为 $k$ 个**非空子集**的方式。例如,$S(3, 2) = 3$,即3个元素分成2个子集的方式有3种。 #### 2. **学背景** 斯特林的研究起源于18世纪,与排列组合的学理论密切相关: - **第一类**与排列的循环结构相关,其递推公式为: $$s(n, k) = s(n-1, k-1) + (n-1)s(n-1, k).$$ 新增元素可单独成循环或插入已有循环中。 - **第二类**与集合划分相关,递推公式为: $$S(n, k) = S(n-1, k-1) + kS(n-1, k).$$ 新增元素可单独成子集或加入现有子集。 #### 3. **用途** 斯特林在多个学和工程领域有广泛应用: - **多项式展开**: 第二类斯特林用于将普通幂 $x^n$ 转为下降阶乘多项式: $$x^n = \sum_{k=0}^{n} S(n, k) x^{\underline{k}},$$ 其中 $x^{\underline{k}} = x(x-1)(x-2)\cdots(x-k+1)$[^2]。 - **组合计**: 第一类用于计算含指定循环的排列,第二类用于计算集合划分或等价关系(如密码学中的密钥分配问题)。 - **概率与统计**: 在泊松分布、复合分布的概率生成函中,斯特林用于展开高阶矩。 - **算法分析**: 斯特林出现在递归算法复杂度分析中,例如分治策略的划分子问题方式。 --- ###
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