斯特林数

转载于 2018-07-24 11:28:33 发布 · 1.4k 阅读

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本文介绍了斯特林数的概念及其在组合数学中的应用。斯特林数分为第一类和第二类，分别用于解决不同类型的组合问题。文章详细阐述了第一类斯特林数的递推公式及其特殊性质，并给出了数学归纳法和构造问题的证明方法。同时，还介绍了第二类斯特林数的递推公式及性质。

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简介

斯特林数是组合数学中的一个重要内容，有许多有用的性质。它由十八世纪的苏格兰数学家James Stirling首先发现并说明了它们的重要性。
斯特林数主要处理的是把N个不同的元素分成k个集合或环的个数问题。现在我们说的斯特林数可以指两类数，分为第一类斯特林数和第二类斯特林数，其中第一类斯特林数还分成有符号和无符号两种。

第一类斯特林数

这里仅讨论有符号的第一类斯特林数。
第一类斯特林数表示的是将n个不同元素分成k个不同的环的方案数。两个环不相同当且仅当这两个环不能通过旋转得到。表示方法为：

考虑递推，把nn个不同元素分成k个不同的环有两种转移。第一种，有可能是n−1个不同元素分成k−1个不同的环，当前的第n个独立成一个元素。第二种可能是n−1个不同元素已经分好了k个不同的环，当前这个可以加进去。加在每个已有元素的逆时针方向（或顺时针方向，方向没有关系，只要统一即可）就不会出现重复，共有n−1种方法，所以：

这就是第一类斯特林数的递推式，也可以写成：

s(n,k)=s(n−1,k−1)+s(n−1,k)∗k

性质

组合数学中的定理暴力求解可行，但是不好玩。所以组合数学中很多定理的证明是通过构造一个问题，用两种不同的方法计算，由于是同一个问题，那么算出来的答案一定是相等的，从而证明等式，简称“算两次”。
第一类斯特林数有如下特殊性质：

下面给出性质1，3，4，5的证明。

性质一

显然，我们把n个元素排列起来，有n!种可能，首尾相接即可得到一个环。这里面每种情况重复了n次，因为可以旋转n次，所以除以n，得到s(n,1)=(n−1)!.

性质三

这里给出数学归纳法的证明。
首先，s(2,2)=1∗1=1，符合定义。
下面通过递推式和性质一证明性质三对于n也成立：

得证！

性质四

同理可用数学归纳法强行计算。巧妙的方法我还没想到。

性质五

这里有一个巧妙地“算两次”方法。
首先构造一个问题，求n个数的所有排列。
首先用乘法原理直接得出结论，ans=n!。
我们知道，对于一个排列对应一个置换，即：

把这个置换中的上下对应位置连边，可以得到许多的环。由于排列和置换是一一对应的，所以我们要求排列的个数，就是求用n个元素组成环的方案数，所以我们枚举环的个数:

由于我们有s(n,0)=0，所以也可以写成：

第二类斯特林数

第二类斯特林数表示把n个元素分成k个非空集合的方案数，集合内是无序的。这样，我们很容易得出转移：
分为两种情况。第一种情况，如果前n−1个元素组成了k−1个非空集合，那么当前元素自成一个集合。第二种情况，如果前n−1个元素组成了k个集合，那么当前的这个元素可以放进这k个集合中任意的一个。所以我们的到来递推方程：

也可以写成：