CF1580B Mathematics Curriculum（笛卡尔树、树形dp）

最新推荐文章于 2023-12-20 00:48:30 发布

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最新推荐文章于 2023-12-20 00:48:30 发布 · 615 阅读

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本文探讨了一道关于动态规划与笛卡尔树的题目，解析了如何将问题转化为寻找特定深度节点的问题，并通过动态规划求解。作者指出，原问题的时间复杂度为O(n^5)，并通过调整边界条件和初始状态优化了算法，使其能在限制时间内运行完成。文章还表达了对出题者设定较大数值范围的疑惑，并分享了完整的C++代码实现。

解析

比较巧妙的一道题。
难点在于对题意的转化。

关键性质：符合要求的点等价于与笛卡尔树上深度为 $m$ 的点。

原因也较为显然，考虑一个特定的点 $x$ ，当枚举全局最大值时，其会对 $x$ 产生贡献，且最大值另一侧就和 $x$ 没有关系了，向有 $x$ 的一侧递归寻找最大值计算贡献，这个过程和笛卡尔树的构造是一样的。

问题就转化为了：给定一个二叉树，求第 $m$ 层有 $k$ 个节点的方案数。
这就是一个喜闻乐见的dp了。
设计状态 $dp_{i,j,s}$ 表示子树根节点深度为 $j$ ，子树大小为 $i$ ，且子树内有 $s$ 个好点的方案数。
就有转移：
$fi,j,s=∑a=0i−1∑b=0a(i−1a)fa,j+1,b×fi−1−a,j+1,s−b−[j=m]f_{i,j,s}=\sum_{a=0}^{i-1}\sum_{b=0}^a\binom{i-1}{a}f_{a,j+1,b}\times f_{i-1-a,j+1,s-b-[j=m]}$

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