YBTOJ&洛谷P4298：祭祀（二分图匹配）

题目描述

在遥远的东方，有一个神秘的民族，自称Y族。他们世代居住在水面上，奉龙王为神。每逢重大庆典， Y族都会在水面上举办盛大的祭祀活动。我们可以把Y族居住地水系看成一个由岔口和河道组成的网络。每条河道连接着两个岔口，并且水在河道内按照一个固定的方向流动。显然，水系中不会有环流
由于人数众多的原因，Y族的祭祀活动会在多个岔口上同时举行。出于对龙王的尊重，这些祭祀地点的选择必须非常慎重。准确地说，Y族人认为，如果水流可以从一个祭祀点流到另外一个祭祀点，那么祭祀就会失去它神圣的意义。族长希望在保持祭祀神圣性的基础上，选择尽可能多的祭祀的地点。

解析

有一说一本题第二问的方案构造我没有完全理解
首先考虑我们利用类似弗洛伊德的方法，求出这个DAG的传递闭包，这样问题就转化成了在图中找到最大独立集
考虑把一个点割成入点和出点，这样本题就变成了二分图最大独立集，直接n-最大匹配即可
然后就是第二问，考虑构造出这个最大独立集
考虑一种方法：

从右边未匹配的点开始dfs，右边走非匹配边，左边只走匹配边
只选取左边dfs到的和右边没被dfs到的点

考虑所有情况的边都会被覆盖到，所有这样就可以构造出一个最小点覆盖
然后我们取补集就是一个最大独立集

第三问，我们只需要强制选该点，把这个点和相关点删去，然后尝试再跑一边匈牙利看是否只与答案差一即可

解析

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int N=305;
#define ll long long
ll read(){
	ll x=0,f=1;char c=getchar();
	while(!isdigit(c)){if(c=='-')f=-1;c=getchar();};
	while(isdigit(c)){x=x*10+c-'0';c=getchar();};
	return x*f;
}
int n,m,l;
struct node{
	int from,to,nxt;
}p[N*N*4];
int fi[N],cnt=-1;
void addline(int x,int y){
	p[++cnt]=(node){x,y,fi[x]};
	fi[x]=cnt;
}
int vis[N],mat[N],num,op[N];
bool dfs(int x,int tim){
	if(vis[x]==tim) return false;
	vis[x]=tim;
	for(int i=fi[x];~i;i=p[i].nxt){
		int to=p[i].to;
		if(!mat[to]||dfs(mat[to],tim)){
			mat[to]=x;return true;
		}
	}
	return false;
}
int hungary(){
	int res=0;
	memset(vis,0,sizeof(vis));
	memset(mat,0,sizeof(mat));
	for(int i=1;i<=n;i++){
		if(dfs(i,i)){
			res++;//printf("  ok:%d\n",i);
		}
	}
	return res;
}
bool mp[105][105];
bool jd[N];
void find(int x){
	if(jd[x]) return;
	jd[x]=1;
	for(int i=fi[x];~i;i=p[i].nxt){
		int to=p[i].to;
		jd[to]=1;
		find(mat[to]);
	}
}
int main(){
	memset(fi,-1,sizeof(fi));
	n=read();m=read();
	for(int i=1;i<=m;i++){
		int x=read(),y=read();
		mp[x][y]=1;
	}
	for(int k=1;k<=n;k++){
		for(int i=1;i<=n;i++){
			for(int j=1;j<=n;j++) mp[i][j]|= (mp[i][k]&&mp[k][j]);
		}
	}
	for(int i=1;i<=n;i++){
		for(int j=1;j<=n;j++){
			if(mp[i][j]) addline(i+n,j),addline(j,i+n);
		}
	}
	int res=hungary();
	printf("%d\n",n-res);
	for(int i=n+1;i<=2*n;i++){
		mat[mat[i]]=i;
	}
	for(int i=n+1;i<=2*n;i++){
		if(!mat[i]) find(i);
	}
	for(int i=1;i<=n;i++){
		if(!jd[i]&&jd[i+n]) printf("1");
		else printf("0");
	}
	printf("\n");
	for(int i=1;i<=n;i++){
		//printf("i=%d-----\n",i);
		memset(fi,-1,sizeof(fi));cnt=-1;
		int tot=0;
		for(int j=1;j<=n;j++){
			if(j==i||mp[i][j]||mp[j][i]) op[j]=1;
			else{
				op[j]=0;tot++;
			}
		}
		for(int j=1;j<=n;j++){
			for(int k=1;k<=n;k++){
				if(!op[j]&&!op[k]&&mp[j][k]){
					//printf("%d->%d\n",j,k);
					addline(j,k+n);
				}
			}
		}
		int o=hungary();
		//printf("tot=%d res=%d\n",tot,o);
		printf("%d",tot-o+1==n-res);
	}
	return 0;
}
/*
4 4
1 2
3 4
3 2
4 2

1010
1011
*/