flyinghearts《编程之美》读书笔记连载（8）（转）

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2.9 Fibonacci序列

计算Fibonacci序列最直接的方法就是利用递推公式 F(n+2)=F(n+1)+F(n)。而用通项公式来求解是错误的，用浮点数表示无理数本来就有误差，经过n次方后，当n相当大时，误差能足够大到影响浮点数转为整数时的精度，得到的结果根本不准。

用矩阵来计算，虽然时间复杂度降到O(lg n)，但要用到矩阵类，相当麻烦。观察：

F(n+2)=F(n)+F(n-1)＝2*F(n-1)+F(n-2)=3*F(n-2)+2*F(n-4)

用归纳法很容易证明 F(n) = F(k)*F(n+1-k) + F(k-1)*F(n-k)，利用该递推公式和原递推公式，要计算F(n)，只要计算F([n/2])和F([n/2]+1)，时间复杂度为 O(lg n)。如：要计算F(58)， 由 58 -> 29,30 -> 14,15 -> 7,8 -> 3,4 -> 1,2 可知只要算5次。可以用一个栈保存要计算的数，实际上，将n的最高位1（假设在第k位）左边的0去除掉后，第m次要计算的数就是：第k位到第k-m+1位这m个位组成的值为t(m)，则第m-1次组成的值为t(m-1)，则t(m)=2*t(m-1)+(第k-m+1位是否为1)。若第m-1次计算得到了 f(k)和f(k+1)，则第m次计算：

 

 

第k-m+1位	已计算	待计算
1	f(k) f(k+1)	f(2*k+1),f(2*k+2)
0		f(2*k),f(2*k+1)

 

 

具体公式见下面代码。

下面是计算F(n)最后四位数（某道ACM题）的代码。

 

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1.    
2. /*   Fibonacci 数列第N 个数的最后4 位数 
3.      注意，当 N>93 时 第N 个数的值超过64 位无符号整数可表示的范围。 
4. F(n+2)=F(n)+F(n-1) F(0)=0 F(1)=1  F(2)=1        ==> 
5. F(n)=F(k)*F(n+1-k) + F(k-1)*F(n-k)               ==> 
6. F(2*n)= F(n+1)*F(n)+F(n)*F(n-1)=(F(n+1)+F(n-1))*F(n)= (F(n+1)*2-F(n))*F(n) 
7. F(2*n+1)=F(n+1)*F(n+1)+F(n)*F(n) 
8. F(2*n+2)= F(n+2)*F(n+1)+F(n+1)*F(n)=(F(n+2)+F(n))*F(n+1)= (F(n+1)+F(n)*2)*F(n+1) 
9.   */  
10.    
11. unsigned fib_last4 ( unsigned num )  
12. {  
13.   if ( num == 0 ) return 0 ;  
14.   const unsigned M = 10000 ;  
15.   unsigned ret = 1 , next = 1 , ret_ = ret ;  
16.   unsigned mask = 1 , tt = num ;  
17.   while ( tt >>= 1 ) mask <<= 1 ;  
18.   while ( mask >>= 1 ){  
19.     if ( num & mask ){  
20.       ret_ = ret * ret + next * next ;  
21.       next = ( ret + ret + next ) * next ;  
22.     } else {  
23.       // 多加一个M ，避免 2*next-ret 是负数，造成结果不对  
24.        ret_ = ( next + next + M - ret ) * ret ;  
25.       next = ret * ret + next * next ;  
26.     }  
27.     ret  = ret_ % M ;  
28.     next = next % M ;  
29.   }  
30.   return ret ;  
31. }