动态规划+卡塔兰数+递归 96. 不同的二叉搜索树 95. 不同的二叉搜索树 II

本文链接：https://blog.youkuaiyun.com/BLUEsang/article/details/106142009

本文介绍了如何使用动态规划和递归方法解决两种不同的二叉搜索树问题。96题中，通过动态规划计算以1到n为节点的二叉搜索树的个数。95题中，利用递归生成1到n所有可能的二叉搜索树结构。文中还提到了卡塔兰数在解题中的应用及其递推公式。

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96. 不同的二叉搜索树

给定一个整数 n，求以 1 … n 为节点组成的二叉搜索树有多少种？

示例:

输入: 3
输出: 5
解释:
给定 n = 3, 一共有 5 种不同结构的二叉搜索树:

   1         3     3      2      1
    \       /     /      / \      \
     3     2     1      1   3      2
    /     /       \                 \
   2     1         2                 3

解题：动态规划
设F(i,n)为以i为根节点的，数字从1~n的二叉搜索树的个数；
设G(i)为数字从1~i的二叉搜索树的个数；

（1）F(i,n)=G(i-1)*G(n-i)；(因为二叉搜索树的个数只与数字个数有关，与数字大小无关)。

（2）G(i)=F(1,i)+F(2,i)……+F(i,i);（0~i的二叉搜索树个数为以1为根加到以i为根个数的和）

综合1，2两式子，得G(i)=G(1-1) * G(i-1) + G(2-1) * G(i-2)……+G(i-1)*G(i-i);
可知G(i)由G（0）~G（i-1）推得，故可用动态规划从前往后推；

class Solution {
public:
    int numTrees(int n) {
        dp.resize(n+1,0);
        dp[0]=1;
        dp[1]=1;
        for(int i=2;i<=n;i++)
            for(int j=1;j<=i;j++)
            dp[i]+=dp[j-1]*dp[i-j];
        return dp[n];
    }
private:
    vector<int> dp;
};

注意点
dp[0]和dp[1]都为1；
若n=0时，返回1，即一个空树；

卡塔兰数

令h(0)=1,h(1)=1，卡塔兰数满足递归式：
h(n)= h(0)*h(n-1) + h(1)*h(n-2) + ... + h(n-1)h(0) (其中n>=2),这是n阶递推关系;
还可以化简为1阶递推关系: 如h(n)=(4n-2)/(n+1)*h(n-1)(n>1) h(0)=1
该递推关系的解为：h(n)=C(2n,n)/(n+1)=P(2n,n)/(n+1)!=(2n)!/(n!*(n+1)!) (n=1,2,3,...)
卡塔兰数列的前几项为1, 1, 2, 5, 14, 42, 132, 429, 1430, 4862, 16796, 58786, 208012, 742900, 2674440, 9694845, 35357670, 129644790, 477638700, 1767263190, 6564120420, 24466267020, 91482563640, 343059613650, 1289904147324, 4861946401452, …

class Solution {
public:
    int numTrees(int n) {
        long long C=1;
        for(int i=0;i<n;i++)
            C=C*2*(2*i+1)/(i+2);
        return C;
    }
};

95. 不同的二叉搜索树 II

给定一个整数 n，生成所有由 1 … n 为节点所组成的二叉搜索树。

示例:

输入: 3
输出:
[
  [1,null,3,2],
  [3,2,null,1],
  [3,1,null,null,2],
  [2,1,3],
  [1,null,2,null,3]
]

解释:
以上的输出对应以下 5 种不同结构的二叉搜索树：

   1         3     3      2      1
    \       /     /      / \      \
     3     2     1      1   3      2
    /     /       \                 \
   2     1         2                 3

解题
递归方法：
求根节点为i的所有搜索树，需要得到根节点为1 ~ i-1的所有搜索树，以及根节点为i+1 ~ n的所有搜索树，取两者的全部排列组合即可得到答案；

递归终止条件
start>end，返回{NULL};

递归式
得到start ~ i-1的所有结果，i+1 ~ end的所有结果，排列组合；
i从start取到end，即为当前res的答案。

当start==end时，getres返回的列表内只有一个元素；

/**
 * Definition for a binary tree node.
 * struct TreeNode {
 *     int val;
 *     TreeNode *left;
 *     TreeNode *right;
 *     TreeNode(int x) : val(x), left(NULL), right(NULL) {}
 * };
 */
class Solution {
public:
    vector<TreeNode*> generateTrees(int n) {
        if(n==0) return {};
        return getres(1,n);
    }
private:
    vector<TreeNode*> getres(int start, int end){
        if(start>end) return {NULL};
        vector<TreeNode*> res;
        for(int i=start;i<=end;i++){
            auto left=getres(start,i-1),right=getres(i+1,end);
            for(auto a:left)
                for(auto b:right)
                {
                    TreeNode * p= new TreeNode(i);    //val为i,表示以i为根节点val的树
                    p->left=a;
                    p->right=b;
                    res.push_back(p);
                }
        }
        return res;
    }
};