Conditional Expectation & Entropy

最新推荐文章于 2022-10-07 01:07:57 发布
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本文深入探讨了条件期望的概念，特别关注于两个离散随机变量X和Y之间的关系。通过详细的推导过程，阐述了如何计算E(Y|X)，并强调了其作为关于X的函数特性。

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Conditional Expectation(条件期望)

1.Derivation

假设有两个离散随机变量X，Y。他们的概率密度分别用$P(X=x_{i}), P(Y=y_{j})$ 表示。则条件期望E(Y|X)为：

$$E(Y|X=x_{i})= \sum_{j}^{m} p(Y=y_{j}) P(Y=y_{j}| X=x_{i})$

And:

$$E(Y) = \sum_{i}^{n} p(X=x_{i})E(Y|X=x_{i})$$

 

 

Remark:

$$E(Y|X)$$ 是关于X的函数。有：$$E(E(Y|X)) = E(Y)$$

 

 

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