TF-IDF与余弦相似性的应用（二）：找出相似文章

TF-IDF与余弦相似性的应用（二）：找出相似文章

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今天，我们再来研究另一个相关的问题。有些时候，除了找到关键词，我们还希望找到与原文章相似的其他文章。比如，"百度新闻"在主新闻下方，还提供多条相似的新闻。

为了找出相似的文章，需要用到"余弦相似性"（cosine similiarity）。为了能够更好的理解这个概念，我们先从句子着手。

句子A：我喜欢看电视，不喜欢看电影
句子B：我不喜欢看电视，也不喜欢看电影。

请问怎样才能计算上面两句话的相似程度？

基本思路是：如果这两句话的用词越相似，它们的内容就应该越相似。因此，可以从词频入手，计算它们的相似程度。

1.分词

句子A：我/喜欢/看/电视，不/喜欢/看/电影。
句子B：我/不/喜欢/看/电视，也/不/喜欢/看/电影。

2.列出所有的词

我，喜欢，看，电视，电影，不，也。

3.计算词频

句子A：我 1，喜欢 2，看 2，电视 1，电影 1，不 1，也 0。
句子B：我 1，喜欢 2，看 2，电视 1，电影 1，不 2，也 1。

4.写出词频向量

句子A：[1, 2, 2, 1, 1, 1, 0]
句子B：[1, 2, 2, 1, 1, 2, 1]

5.计算相似程度

到这里，问题就变成了如何计算这两个向量的相似程度。

我们可以把它们想象成空间中的两条线段，都是从原点（[0, 0, …]）出发，指向不同的方向。两条线段之间形成一个夹角，如果夹角为0度，意味着方向相同、线段重合；如果夹角为90度，意味着形成直角，方向完全不相似；如果夹角为180度，意味着方向正好相反。因此，我们可以通过夹角的大小，来判断向量的相似程度。夹角越小，就代表越相似。

以二维空间为例，上图的a和b是两个向量，我们要计算它们的夹角θ。余弦定理告诉我们，可以用下面的公式求得：
$$cos\theta =\frac{a^2+b^2-c^2}{2ab}$$

假定a向量是[x1, y1]，b向量是[x2, y2]，那么可以将余弦定理改写成下面的形式：
$$cos\theta =\frac{x_1{x}_2+y_1{y}_2}{\sqrt{x_1^2+y_1^2}\times \sqrt{x_2^2+y_2^2}}$$

数学家已经证明，余弦的这种计算方法对n维向量也成立。假定A和B是两个n维向量，A是 [A1, A2, …, An] ，B是 [B1, B2, …, Bn] ，则A与B的夹角θ的余弦等于：
$$cos\theta =\frac{{\sum }_n^{i=1}(A_i\times B_i))}{\sqrt{{\sum }_n^{i=1}(A_i{)}^2}\times \sqrt{{\sum }_n^{i=1}(B_i{)}^2}}=\frac{A\cdot B}{\left|A\right|\times \left|B\right|}$$
使用这个公式，我们就可以得到，句子A与句子B的夹角的余弦。
$$cos\theta =\frac{1\times 1+2\times 2+2\times 2+1\times 1+1\times 1+1\times 2+0\times 1}{\sqrt{1^2+2^2+2^2+1^2+1^2+1^2+0^2}\times \sqrt{1^2+2^2+2^2+1^2+1^2+2^2+1^2}}=\frac{13}{\sqrt{12}\times \sqrt{16}}=0.938$$
**余弦值越接近1，就表明夹角越接近0度，也就是两个向量越相似，这就叫"余弦相似性"。**所以，上面的句子A和句子B是很相似的，事实上它们的夹角大约为20.3度。

6.结论

由此，我们就得到了"找出相似文章"的一种算法：

• 使用TF-IDF算法，找出两篇文章的关键词；
• 每篇文章各取出若干个关键词（比如20个），合并成一个集合，计算每篇文章对于这个集合中的词的词频（为了避免文章长度的差异，可以使用相对词频）；
• 生成两篇文章各自的词频向量；
• 计算两个向量的余弦相似度，值越大就表示越相似。

"余弦相似度"是一种非常有用的算法，只要是计算两个向量的相似程度，都可以采用它。