树、二叉树基础

最近在看HashMap源码，JDK1.8之后用了红黑树，现在回顾一下大学的数据结构----树。

树

定义
树（Tree）是n（n>=0)个结点的有限集。当n=0时称为空树。在任意一颗非空树中：
1、有且仅有一个特定的称为根（Root）的结点；
2、当n>1时，其余结点可分为m(m>0)个互不相交的有限集T1、T2、…、Tn，其中每一个集合本身又是一棵树，并且称为根的子树。

此外，树的定义还需要强调以下两点：
1、n>0 时根结点是唯一的，不可能存在多个根结点，数据结构中的树只能有一个根结点。
2、m>0 时，子树的个数没有限制，但它们一定是互不相交的。

一棵普通的树：

图1

结点的度

结点拥有的子树数目称为结点的度。

图2

结点关系

结点子树的根结点为该结点的孩子结点，相应该结点称为孩子结点的双亲结点。
图2中，A为B的双亲结点，B为A的孩子结点。
同一个双亲结点的孩子结点之间互称兄弟结点。
图 2 中 ，结点B与结点C互为兄弟结点。

结点层次

从根开始定义起，根为第一层，根的孩子为第二层，以此类推。

图3表示了图1所示树的层次关系。

图3

树的深度

树中结点的最大层次数称为树的深度或者高度，图1所示树的深度为4 。

2 二叉树

定义
二叉树是n(n>=0)个结点的有限集合，该集合或者为空集(称为空二叉树) ， 或者由一个根结点和两棵互不相交的、分别称为根结点的左子树和右子树组成。

图2-1

2.2 二叉树特点

由二叉树定义以及图示分析得出二叉树有以下特点：
1） 每个结点最多有两棵子树，所以二叉树中不存在度大于2的结点。
2） 左子树和右子树是有顺序的，次序不能任意颠倒。
3）即使树中某结点只有一棵子树，也要区分它是左子树还是右子树。

2.3 二叉树的性质

1）在二叉树的第i层上最多有2 ^i-1 个结点。 (i>=1)。
2) 二叉树中如果深度为K，那么最多有2 ^k -1个结点。
3） n ₀= n ₂+1 ，n₀ 表示度数为0的结点数，n₂表示度数为2的结点数。
4）在完全二叉树中，具有n个节点的完全二叉树的深度为[log₂n]+1，其中[log₂n]是向下取整。

2.4 斜树
斜树：所有的结点都只有左子树的二叉树叫左斜树。所有结点都是只有右子树的二叉树叫右斜树。这两者统称为斜树。

2.5 满二叉树
满二叉树：在一棵二叉树中。如果所有分支结点都存在左子树和右子树，并且所有叶子都在同一层上，这样的二叉树称为满二叉树。
满二叉树的特点有：
1）叶子只能出现在最下一层。出现在其它层就不可能达成平衡。
2）非叶子结点的度一定是2。
3）在同样深度的二叉树中，满二叉树的结点个数最多，叶子数最多。

图2-2

2.6 完全二叉树
完全二叉树：对一颗具有n个结点的二叉树按层编号，如果编号为i(1<=i<=n)的结点与同样深度的满二叉树中编号为i的结点在二叉树中位置完全相同，则这棵二叉树称为完全二叉树。

特点：
1）叶子结点只能出现在最下层和次下层。
2）最下层的叶子结点集中在树的左部。
3）倒数第二层若存在叶子结点，一定在右部连续位置。
4）如果结点度为1，则该结点只有左孩子，即没有右子树。
5）同样结点数目的二叉树，完全二叉树深度最小。

2.7 二叉树的存储结构

顺序存储
二叉树的顺序存储结构就是使用一维数组存储二叉树中的结点，并且结点的存储位置，就是数组的下标索引。
数组存储。
链表存储
既然顺序存储不能满足二叉树的存储需求，那么考虑采用链式存储。由二叉树定义可知，二叉树的每个结点最多有两个孩子。因此，可以将结点数据结构定义为一个数据和两个指针域。

采用一种链表结构存储二叉树，这种链表称为二叉链表。

2.8 二叉树遍历
二叉树的遍历一个重点考查的知识点。

二叉树的遍历是指从二叉树的根结点出发，按照某种次序依次访问二叉树中的所有结点，使得每个结点被访问一次，且仅被访问一次。
二叉树的访问次序可以分为四种：

• 前序遍历
• 中序遍历
• 后序遍历
  
  

前序遍历
前序遍历通俗的说就是从二叉树的根结点出发，当第一次到达结点时就输出结点数据，按照先向左在向右的方向访问。根左右
ABDHIEJCFG

中序遍历
中序遍历就是从二叉树的根结点出发，当第二次到达结点时就输出结点数据，按照先向左在向右的方向访问。左根右
HDIBJEAFCG

后序遍历
后序遍历就是从二叉树的根结点出发，当第三次到达结点时就输出结点数据，按照先向左在向右的方向访问。左右根
HIDJEBFGCA

虽然二叉树的遍历过程看似繁琐，但是由于二叉树是一种递归定义的结构，故采用递归方式遍历二叉树的代码十分简单。
递归实现代码如下：

/*二叉树的前序遍历递归算法*/
    // 先序遍历递归   
    public static void preOrder(BinTree t) {  
        if (t == null) {  
            return;  
        }  
        System.out.print(t.date);   /*显示结点数据，可以更改为其他对结点操作*/
        preOrder(t.lchild);         /*再先序遍历左子树*/
        preOrder(t.rchild);         /*最后先序遍历右子树*/
    }  
  
    // 中序遍历递归   
    public static void InOrder(BinTree t) {  
        if (t == null) {  
            return;  
        }  
        InOrder(t.lchild);  		 /*中序遍历左子树*/
        System.out.print(t.date);    /*显示结点数据，可以更改为其他对结点操作*/
        InOrder(t.rchild);  		 /*最后中序遍历右子树*/
    }  
  
    // 后序遍历递归   
    public static void PostOrder(BinTree t) {  
        if (t == null) {  
            return;  
        }  
        PostOrder(t.lchild);  		 /*先后序遍历左子树*/
        PostOrder(t.rchild);  		 /*再后续遍历右子树*/
        System.out.print(t.date);  	 /*显示结点数据，可以更改为其他对结点操作*/
    }  

2.9 二叉搜索树(BST)

根据《算法导论》（中文第3版）的相关介绍，二叉搜索树中的关键字总是以满足二叉搜索树性质的方式来存储：

设x是二叉搜索树中的一个结点。如果y是x左子树中的一个结点，那么y.key≤x.key。如果y是x右子树中的一个结点，那么y.key≥x.key。

总结二叉搜索树特点：

1. 若任意结点的左子树不空，则左子树上所有结点的值均不大于它的根结点的值；

2. 若任意结点的右子树不空，则右子树上所有结点的值均不小于它的根结点的值；

3. 任意结点的左、右子树也分别为二叉搜索树。

2.10平衡二叉树

平衡二叉树（Balanced Binary Tree）又被称为AVL树（有别于AVL算法），且具有以下性质：它是一 棵空树或它的左右两个子树的高度差的绝对值不超过1，并且左右两个子树都是一棵平衡二叉树。这个方案很好的解决了二叉查找树退化成链表的问题，把插入，查找，删除的时间复杂度最好情况和最坏情况都维持在O(logN)。

总结平衡二叉树特点：

（1）非叶子节点最多拥有两个子节点；

（2）非叶子节值大于左边子节点、小于右边子节点；

（3）树的左右两边的层级数相差不会大于1;

（4）没有值相等重复的节点;

完结。