树、二叉树基础

博主回顾大学数据结构中树和二叉树的知识。介绍了树的定义、结点的度、关系、层次和深度等。重点阐述二叉树的定义、特点、性质,还提及斜树、满二叉树、完全二叉树等类型,以及存储结构、遍历方式,最后介绍了二叉搜索树和平衡二叉树。

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最近在看HashMap源码,JDK1.8之后用了红黑树,现在回顾一下大学的数据结构----树。

定义
树(Tree)是n(n>=0)个结点的有限集。当n=0时称为空树。在任意一颗非空树中:
1、有且仅有一个特定的称为根(Root)的结点;
2、当n>1时,其余结点可分为m(m>0)个互不相交的有限集T1、T2、…、Tn,其中每一个集合本身又是一棵树,并且称为根的子树。

此外,树的定义还需要强调以下两点:
1、n>0 时根结点是唯一的,不可能存在多个根结点,数据结构中的树只能有一个根结点。
2、m>0 时,子树的个数没有限制,但它们一定是互不相交的。

一棵普通的树


普通树

图1

结点的度

结点拥有的子树数目称为结点的度。


在这里插入图片描述

图2

结点关系

结点子树的根结点为该结点的孩子结点,相应该结点称为孩子结点的双亲结点
图2中,A为B的双亲结点,B为A的孩子结点。
同一个双亲结点的孩子结点之间互称兄弟结点
图 2 中 ,结点B与结点C互为兄弟结点。

结点层次

从根开始定义起,根为第一层,根的孩子为第二层,以此类推。

图3表示了图1所示树的层次关系。

在这里插入图片描述

图3

树的深度

树中结点的最大层次数称为树的深度或者高度,图1所示树的深度为4 。

2 二叉树

定义
二叉树是n(n>=0)个结点的有限集合,该集合或者为空集(称为空二叉树) , 或者由一个根结点和两棵互不相交的、分别称为根结点的左子树和右子树组成。


图2-1

图2-1

2.2 二叉树特点

由二叉树定义以及图示分析得出二叉树有以下特点:
1) 每个结点最多有两棵子树,所以二叉树中不存在度大于2的结点。
2) 左子树和右子树是有顺序的,次序不能任意颠倒。
3)即使树中某结点只有一棵子树,也要区分它是左子树还是右子树。

2.3 二叉树的性质

1)在二叉树的第i层上最多有2 i-1 个结点。 (i>=1)。
2) 二叉树中如果深度为K,那么最多有2 k -1个结点。
3) n 0= n 2+1 ,n0 表示度数为0的结点数,n2表示度数为2的结点数。
4)在完全二叉树中,具有n个节点的完全二叉树的深度为[log2n]+1,其中[log2n]是向下取整。

2.4 斜树
斜树:所有的结点都只有左子树的二叉树叫左斜树。所有结点都是只有右子树的二叉树叫右斜树。这两者统称为斜树。

2.5 满二叉树
满二叉树:在一棵二叉树中。如果所有分支结点都存在左子树和右子树,并且所有叶子都在同一层上,这样的二叉树称为满二叉树。
满二叉树的特点有:
1)叶子只能出现在最下一层。出现在其它层就不可能达成平衡。
2)非叶子结点的度一定是2。
3)在同样深度的二叉树中,满二叉树的结点个数最多,叶子数最多。

在这里插入图片描述
图2-2

2.6 完全二叉树
完全二叉树:对一颗具有n个结点的二叉树按层编号,如果编号为i(1<=i<=n)的结点与同样深度的满二叉树中编号为i的结点在二叉树中位置完全相同,则这棵二叉树称为完全二叉树。


在这里插入图片描述

特点:
1)叶子结点只能出现在最下层和次下层。
2)最下层的叶子结点集中在树的左部。
3)倒数第二层若存在叶子结点,一定在右部连续位置。
4)如果结点度为1,则该结点只有左孩子,即没有右子树。
5)同样结点数目的二叉树,完全二叉树深度最小。

2.7 二叉树的存储结构

顺序存储
二叉树的顺序存储结构就是使用一维数组存储二叉树中的结点,并且结点的存储位置,就是数组的下标索引。
数组存储。
链表存储
既然顺序存储不能满足二叉树的存储需求,那么考虑采用链式存储。由二叉树定义可知,二叉树的每个结点最多有两个孩子。因此,可以将结点数据结构定义为一个数据和两个指针域。


在这里插入图片描述
在这里插入图片描述
采用一种链表结构存储二叉树,这种链表称为二叉链表。

2.8 二叉树遍历
二叉树的遍历一个重点考查的知识点。

二叉树的遍历是指从二叉树的根结点出发,按照某种次序依次访问二叉树中的所有结点,使得每个结点被访问一次,且仅被访问一次。
二叉树的访问次序可以分为四种:

  • 前序遍历
  • 中序遍历
  • 后序遍历

    在这里插入图片描述

前序遍历
前序遍历通俗的说就是从二叉树的根结点出发,当第一次到达结点时就输出结点数据,按照先向左在向右的方向访问。根左右
ABDHIEJCFG

中序遍历
中序遍历就是从二叉树的根结点出发,当第二次到达结点时就输出结点数据,按照先向左在向右的方向访问。左根右
HDIBJEAFCG

后序遍历
后序遍历就是从二叉树的根结点出发,当第三次到达结点时就输出结点数据,按照先向左在向右的方向访问。左右根
HIDJEBFGCA

虽然二叉树的遍历过程看似繁琐,但是由于二叉树是一种递归定义的结构,故采用递归方式遍历二叉树的代码十分简单。
递归实现代码如下:

/*二叉树的前序遍历递归算法*/
    // 先序遍历递归   
    public static void preOrder(BinTree t) {  
        if (t == null) {  
            return;  
        }  
        System.out.print(t.date);   /*显示结点数据,可以更改为其他对结点操作*/
        preOrder(t.lchild);         /*再先序遍历左子树*/
        preOrder(t.rchild);         /*最后先序遍历右子树*/
    }  
  
    // 中序遍历递归   
    public static void InOrder(BinTree t) {  
        if (t == null) {  
            return;  
        }  
        InOrder(t.lchild);  		 /*中序遍历左子树*/
        System.out.print(t.date);    /*显示结点数据,可以更改为其他对结点操作*/
        InOrder(t.rchild);  		 /*最后中序遍历右子树*/
    }  
  
    // 后序遍历递归   
    public static void PostOrder(BinTree t) {  
        if (t == null) {  
            return;  
        }  
        PostOrder(t.lchild);  		 /*先后序遍历左子树*/
        PostOrder(t.rchild);  		 /*再后续遍历右子树*/
        System.out.print(t.date);  	 /*显示结点数据,可以更改为其他对结点操作*/
    }  

2.9 二叉搜索树(BST)

根据《算法导论》(中文第3版)的相关介绍,二叉搜索树中的关键字总是以满足二叉搜索树性质的方式来存储:

设x是二叉搜索树中的一个结点。如果y是x左子树中的一个结点,那么y.key≤x.key。如果y是x右子树中的一个结点,那么y.key≥x.key。

总结二叉搜索树特点:

  1. 若任意结点的左子树不空,则左子树上所有结点的值均不大于它的根结点的值;

  2. 若任意结点的右子树不空,则右子树上所有结点的值均不小于它的根结点的值;

  3. 任意结点的左、右子树也分别为二叉搜索树。

在这里插入图片描述
2.10平衡二叉树

平衡二叉树(Balanced Binary Tree)又被称为AVL树(有别于AVL算法),且具有以下性质:它是一 棵空树或它的左右两个子树的高度差的绝对值不超过1,并且左右两个子树都是一棵平衡二叉树。这个方案很好的解决了二叉查找树退化成链表的问题,把插入,查找,删除的时间复杂度最好情况和最坏情况都维持在O(logN)。

总结平衡二叉树特点:

(1)非叶子节点最多拥有两个子节点;

(2)非叶子节值大于左边子节点、小于右边子节点;

(3)树的左右两边的层级数相差不会大于1;

(4)没有值相等重复的节点;

在这里插入图片描述
完结。

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