LeetCode 371: Sum of Two Integers 题解

原题如下：

LeetCode 371: Sum of Two Integers

Problem:
Calculate the sum of two integers a and b, but you are not allowed to use the operator + and -.

Example:
Given a = 1 and b = 2, return 3.

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题的意思是计算两个整数的和，但是不能用加号（+）和减号（-），当然也不能用：+=、-=、++、–了，既然不能用加减来做运算，那乘除运算能求两个数的和吗，显然是不能的，除非遇到两个数相等，或者其中一个等于0等特殊情况，但是这道题要求对任意两个数字求和，那么加减乘除都不能做到这一点，自然能想到只能通过位运算来达到目的了。

首先，有关位的运算包括：按位与（&）、按位或（|）、按位异或（^）、移位。那么要如何用这些运算计算两个数的和呢。下面来看个例子。

假设有两个数 $a$ = 0010, $b$ = 0011，我们可以知道：
1) $a$ & $b$ = 0010
2) $a$ | $b$ = 0011
3) $a$ ^ $b$ = 0001
其中与运算将对应的位均为1的位表示了出来（在这里是第2位），这就表示该位要进位，它的下一位（在这里是第三位）需要加上1。亦或将所有的对应位不相同的位表示了出来（在这里只有第一位），这就表示如果所有的位都没有进位的话，那么这个亦或的值就是答案，因为二进制的加法如果不考虑进位的话，就等价于两个二进制数相亦或。而或运算在这里的用处不大，因为加法的两个步骤：相加和进位已经分别被亦或运算和与运算实现了。那么现在来看看具体步骤：

首先，令 $x = a$ & $b$ = 0010 表示第三位需要加一；令 $ans$ = $a$ ^ $b$ = 0001，表示不考虑进位的话，答案就为0001。我们先将 $x$ 左移一位得到 $x$ = 0100，表示第三位需要加上1。这时，令$ans$ ^= $x$ = 0101，得到一个没有考虑进位的答案，然后在来看看第一次进位之后还需不需要再进位：$x$ &= $ans$ = 0000，表示第一次进位之后就不需要进位了。那么 $a + b$ = 0101。

要点就在于，与运算能够判断下一位是否需要加1，而亦或运算能够算出舍弃了进位的答案，那么如果循环执行这个流程，那么就能处理掉所有的进位。理解的最好办法就是再纸上多试试。

通过的代码如下：

int getSum(int a, int b) {
    int shift = a & b;      //找出需要进位的位
    int ans = a ^ b;        //得到不带进位的答案
    while(shift){
        shift <<= 1;        //将进位标志左移一位
        int pre_ans = ans;  //记录之前的亦或值
        ans ^= shift;       //得到新的不带进位的答案
        shift &= pre_ans;   //找出还需要进位的位
    }
    return ans;
}