Cpp环境【Usaco2007 Jan】【CQYZOJ1432】解题

【问题描述】  

　　过去的日子里,农夫John的牛没有任何题目。可是现在他们有题目，有很多的题目。 精确地说，他们有 P 道题目要做。并且他们还离开了农场并且象普通人一样找到了工作，他们的月薪是M 元（上个月的工资在下月初发放）。
　　
　　他们的题目是一流的难题，所以他们得找帮手。帮手们不是免费的，但是他们能保证在一个月内作出任何题目。每做一道题需要两笔付款：第一笔A_i(1 <= A_i <= M) 元在做题的那一个月初支付，第二笔B_i元(1 <= B_i <= M)在做完后的下一个月初支付。 每一个月牛们用上一个月挣的钱来付款。牛没有任何存款意识，所以每个月的节余都会拿去买糖吃掉。

　　因为题目是相互关连的，它们必须按顺序解出。 比如，题目3必须在解题目4之前或同一个月解出。

　　找出牛们做完所有题目并支付完所有款项的最短月数。

【输入格式】  

　　第一行: M 和 P;
　　第2…P+1行: 第i行包含A_i和B_i, 分别是做第i道题的预先付款和完成付款.

【输出格式】  

　　第一行: 牛们做完题目并付完帐目的最少月数.

【输入样例】  

100 5
40 20
60 20
30 50
30 50
40 40

【输出样例】  

6

【样例解释】  

Month	本月的首付	本月的尾款	结余（买糖）	解决的问题
1	\	\	0	0
2	40+60	\	0	0
3	30+30	20+20	0	1,2
4	\	50+50	0	1,2,3,4
5	40	\	60	1,2,3,4
6	\	40	60	1,2,3,4,5

【数据范围】  

1 <= P <= 300
1 <= M <= 1000

【传送矩阵】

CQYZOJ p1432 传送矩阵

【思路梳理】

　　是不是贪心的既视感？应该来说所有人的第一反应都应该是贪心算法：思考最优值，似乎可以将所有的problem尽可能地往前排，使得完成所有问题的时间尽可能的短。
　　但是如此一来会产生漏洞，考虑如下的一组数据：

　　　7 3
　　　2 5
　　　2 5
　　　5 2

　　那么按照贪心的思路，显然答案应该如下：

Month	本月的首付	本月的尾款	结余（买糖）	解决的问题
1	\	\	0	0
2	2	\	5	0
3	2	5	0	1
4	\	5	2	1,2
5	5	\	2	1,2
6	\	2	5	1,2,3

　　而实际上的最优值是5，说明如下：

Month	本月的首付	本月的尾款	结余（买糖）	解决的问题
1	\	\	0	0
2	2	\	5	0
3	\	5	2	1
4	2+5	\	0	1
5	\	5+2	0	1,2,3

　　发现区别了吗？在解法2中，第2、3个问题是一起完成的，在等待problem1的问题的尾款付清后的下一个月才启动了problem2、problem3的首付。而在解法1中，problem1的尾款、problem2的首付是一起支付的！也就是说，问题在于是否应该等待上一个问题付清尾款（结余更多的钱来同时开启更多个问题）再开始付下面的问题的款。
　　显然，如果这么考虑的话，我们可以消除掉后效性：同时考虑上一个月的所有尾款和这一个月的所有首付。显然这是一个分组的问题，每一个月同时进行解答的problem属于同一个组，那么可以设计如下的状态函数&状态转移方程：

状态函数d[i][j]=解答前i个problem且最后一次连续进行j个problem的解答所需要的最小月数

状态转移方程：
　　1.在前i~j件事情付清尾款当月付j个项目的首款：d[i][j]=min{d[i-j][x]+1 | sumb[j-1-x+1][j-1]+suma[j][i]<=pay}
　　2.在前i~j件事情付清尾款后的一个月付j个项目的首款:d[i][j]=min{ d[i-j][x]+2 | sumb[j-1-x+1][j-1]<=pay && suma[j][i]<=pay }

笔者简单解释一下：
　　假设我们现在已经完成了i-j个problem的解答（上一个月同时付了x个problem的首款），现在要付连续j个problem的首款。在本月结束时，我们要保证前i个程序都已经在解答中（或者已经解出）且本月进行了j个解答，那么截止本月初付过前x个problem的尾款后，总共是完成了i-j个problem；本月要完成的问题的编号是从i-j+1一直到i，那么我们就可以推出，上一个月要完成的问题的编号为i-j-x+1到i-j。按照我们上面分析的，我们有两种选择：
　　1.同时付清上一组x个problem的尾款和这一组j个problem的首付；
　　2.在上一组x个problem的尾款付清后，进行j个problem的首付。
设suma[i][j]、sumb[i][j]分别为首付前缀和尾款前缀和，分别表示第i个问题至第j个问题的首付之和、第i个问题至第j个问题的尾款之和。
　　
　　无论如何，都需要保证这个月的结余必须为正数、且下一个月将要付清的本月尾款必须也不能超过工薪（如果大于了工薪，那么本月或下一个月奶牛就破产了=_+)。

【Cpp代码】

#include<iostream>
#include<cstring>
#include<cstdio>
#define maxn 305
#define maxpay 1005
#define inf 605
using namespace std;
int pay,n,first[maxn],second[maxn],d[maxn][maxn];
int suma[maxn][maxn],sumb[maxn][maxn];//前缀和 

void dp()
{
    for(int i=0;i<=n;i++)
    for(int j=0;j<=n;j++)   d[i][j]=inf;
    d[0][0]=2;//注意一个小细节，只要问题不止1个，那么我们就只能从第2个月开始付款（第一个月的工资在第二个月月初才发到奶牛手中，所以边界至少是d[0][0]=2

    for(int i=1;i<=n;i++)
    for(int j=1;j<=i;j++)if(suma[i-j+1][i]<=pay && sumb[i-j+1][i]<=pay)//既不能在本月交不起首付也不能在下个月交不清尾款
    {
        int t1=inf,t2=inf;//两种选择
        for(int x=0;x<=i;x++)//循环，假设上一组有x个problem
        {
        if(sumb[i-j-x+1][i-j]+suma[i-j+1][i]<=pay)      t1=min(t1,d[i-j][x]+1);
        if(sumb[i-j-x+1][i-j]<=pay && suma[i-j+1][i]<=pay)  t2=min(t2,d[i-j][x]+2);
        }

        d[i][j]=min(t1,t2);//两者取最优，局部最优解是全局最优解
    }

    int ans=inf;
    for(int i=1;i<=n;i++)   ans=min(ans,d[n][i]);
    cout<<ans;//最后一次可以同时完成任意个problem只要不破产
}

int main()
{
//  freopen("in.txt","r",stdin);
    scanf("%d%d",&pay,&n);
    for(int i=1;i<=n;i++)   scanf("%d%d",&first[i],&second[i]);

    for(int i=1;i<=n;i++)//计算前缀和
    for(int j=i;j<=n;j++)   suma[i][j]=suma[i][j-1]+first[j],sumb[i][j]=sumb[i][j-1]+second[j];

    if(n)  dp();
    else printf("0");
    return 0;
}