【LeetCode 89】格雷编码 构建法和自然二进制编码转化法

题目：

思考：

• 首先，补充一下格雷码的含义：在一组数的编码中，若任意两个相邻的代码只有一位二进制数不同，则称这种编码为格雷码。例如，位数为2格雷码的其中一个序列：00，01，11，10，它们任意两个相邻的数值，只有一个位数不同。
• 解题思路：如果我们书写三位的格雷码的一个序列：000，001，011，010，110，111，101，100。我们会发现一个奇怪的现象，前面四个数，跟后面四个数，第一位不同，后面刚好后四个数的顺序是前四个数的逆序。通过查阅资料，可知，这是由于格雷码是反射二进制码，我们根据这一特点，利用递归的如下规则来构造：
  • 1位格雷码有两个，n位的格雷码有2*n个
  • (n+1)位格雷码中的前n个码字等于n位格雷码的码字，按顺序书写，加前缀0
  • (n+1)位格雷码中的后n个码字等于n位格雷码的码字，按逆序书写，加前缀1
  • n+1位格雷码的集合 = n位格雷码集合(顺序)加前缀0 + n位格雷码集合(逆序)加前缀1

代码:

	public List<Integer> grayCode(int n) {
        List<Integer> list = new ArrayList<>();
        if (n == 0) {
            list.add(0);
            return list;
        }

		// 这里获得格雷码的二进制码的形式，再将二进制码转为数字
        String[] grayCode = getGrayCode(n);
        for (String s : grayCode
        ) {
            list.add(Integer.parseInt(s, 2));
        }
        return list;
    }

    private String[] getGrayCode(int n) {
        if (n == 1) {
            return new String[]{"0", "1"};
        }

        String[] temp = getGrayCode(n - 1);
        String[] result = new String[temp.length * 2];
        for (int i = 0; i < temp.length; i++) {
     	    // n位格雷码集合(顺序)加前缀0 
            result[i] = "0" + temp[i];
            // n位格雷码集合(逆序)加前缀1
            result[result.length - i - 1] = "1" + temp[i];
        }
        return result;
    }

自然二进制做法：

还有一种做法，是利用自然二进制码，直接转为格雷编码，方法为：将自然二进制码右移一位，与原自然二进制码进行异或操作，即可得到格雷编码。
具体的代码：

	public List<Integer> grayCode1(int n) {
        List<Integer> result = new ArrayList<>();
        for (int i = 0; i < 1 << n; i++) {
            result.add(i ^ i >> 1);
        }
        return result;
    }

自然二进制做法解析：

关于这个规律，为什么能从自然二进制码转为格雷编码，这里按自己的理解解释一下：

• 对于自然二进制码，进行自增，有两种情况，一种是进位，一种是末位从0变成1。而格雷编码需要对应自然二进制码这两种自增情况时，都只发生一位的修改。
• 而算法，是将自然二进制码右移一位，与原自然二进制码进行异或操作，对于一个n位的自然二进制数，该变化即保留了最高位不变，有n-1次异或操作，而该格雷码就是最高位加上n-1次异或操作的结果进行拼接。我们现在就需要讨论当二进制编码自增，发生上述两种情况时，格雷编码是否能保证只发生了一位修改。
• 首先考虑，自然二进制码没有发生进位的情况。此时，最后一位，实际上只参与了一组异或计算，即n-1组异或操作，会有一组的值发生了变化，即符合只发生了一位的修改。（下面举例从 0010 -> 0011）
  
• 第二种情况，即发生进位。比如进位，会导致后面m位都发生变化，即但后面m-1组的异或中，两个元素同时变，因此异或结果没有变。而第m组，只有一个参数发生变化，因此会导致异或计算结果不同。即总体发生一组值的变化，也符合发生了一位的修改。（下面举例从 0011 -> 0100）
  
• 综上两种情况，可以推断该算法确实可以将自然二进制码转为格雷编码。

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